Составление дифференциальных уравнений
Составим дифференциальное уравнение по рис. 2.1, б для участка цепи с параметрами X1, R1 после замыкания контакта K. По второму закону Кирхгофа сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна сумме приложенных ЭДС (напряжений). Для цепи переменного тока:
U = UR1 + UX1
или
U = i1R1 + L1di1/dt. (2.1)
После короткого замыкания (замыкания контакта K по рис. 2.1, б) участок цепи с параметрами X2, R2 теряет связь с источником питания, к нему приложено нулевое напряжение. Для участка цепи с параметрами X2, R2 после замыкания контакта K:
0 = UR2 + UX2
или
0 = i2R2 + L2di2 /dt. (2.2)
Определение тока установившегося режима
Частное решение
неоднородного уравнения для участка
цепи с параметрами X1,R1
является током установившегося режима
контура с сопротивлением Z1
= R1
+ jX1
= Z1е jφ1,
где Z1
=
;
φ1
= arctg
(X1/R1):
=
U / Z1.
Если записать приложенное к контуру напряжение в виде Um sin (ωt + α), то
(t)
= I1m
sin
(ωt + α
– φ1),
I1m
= Um /
.
Частное решение неоднородного уравнения для участка цепи с параметрами X2,R2 равно нулю, поскольку после замыкания контакта к нему приложено нулевое напряжение.
Составление и решение однородного уравнения
Однородное уравнение для участка цепи с параметрами X1, R1:
0 = UR1 + UX1
или
0 = i1R1 + L1d i1/dt.
Характеристическое уравнение:
R1 + pL1 = 0.
Его решение:
p1 = – R1/L1.
Свободный ток участка цепи:
(t)
= A1е
p1t.
Постоянную интегрирования A1 определим из условия непрерывности полного тока в цепи с индуктивностью: ток в цепи до коммутации, т. е. до замыкания контакта K (t = 0–):
i0 = Im sin (α – φ),
где
Im
=
,
φ = arctg
[(X1
+X2)/(R1
+ R2)],
равен току в первый момент после коммутации при t = 0+:
I1m
sin (α
– φ1)
+ A1e0.
Отсюда
A1 = im sin (α – φ) – i1m sin (α – φ1).
Однородное уравнение для участка цепи с параметрами X2, R2 после замыкания контакта:
0 = UR2 + UX2
или
0 = i2R2 + L2di2/dt.
Характеристическое уравнение:
R2 + pL2 = 0.
Его решение:
p2 = – R2/L2.
Свободный ток участка цепи:
A2e
p2t.
Постоянную интегрирования A2 определим из условия непрерывности полного тока в цепи с индуктивностью: ток в цепи до коммутации, т. е. до замыкания контакта (t =0–)
i0 = im sin (α – φ),
равен току в первый момент после коммутации при t = 0+
A2e0,
здесь
.
Отсюда
A2 = im sin (α – φ).
Определение полного тока
Полный ток в цепи с параметрами X1, R1 после замыкания контакта:
i1(t) = i′(t) + i″(t) = I1m sin (ωt + α – φ1) +
+ [Im sin (α – φ) – I1m sin (α – φ1)] e p1t.
В расчетах вместо индуктивности L используют X = ωL, а вместо корня характеристического уравнения p − постоянную времени затухания апериодической составляющей Ta = 1/p и последнее выражение записывают в виде
I1m
sin (ωt
+ α – φ1)
+ [Im
sin (α
– φ) –
– I1m sin (α – φ1)] e–t/Ta1.
Полный ток в цепи с параметрами X2,R2 после замыкания контакта:
[Im
sin (α
– φ)] e–t/Ta2.
Из двух последних выражений видно, что начальное значение апериодической составляющей зависит от амплитуд токов и момента коммутации, т. е. от так называемой фазы включения (угла включения) α, а также от угла между током и напряжением как до, так и после коммутации (φ, φ1).