Кафедра общей и технической физики

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Цель работы – измерение зависимости электропроводности германия и меди от температуры, определение ширины запрещенной зоны германия, температурного коэффициента удельного сопротивления меди и длины свободного пробега электронов в меди.

Основные теоретические сведения.

1. Особенности электропроводности твердых тел.

Носителями заряда в твердых телах являются электроны. В отсутствии внешнего электрического поля электроны участвуют в тепловом хаотическом движении со средней тепловой скоростью <u>, при этом все направления равноправны. При

приложении внешнего электрического поля происходит изменение в распределении электронов по скоростям. Электроны, движущиеся по полю, должны замедляться, а движущиеся против поля должны ускоряться. Однако подобное ускорение или замедление частицы сопровождается изменением ее полной энергии, что означает переход частицы на новые квантовые уровни. Такие переходы могут осуществляться лишь в том случае, если в энергетической зоне есть свободные уровни. Переходы в нижележащие состояния невозможны, так как эти состояния заняты, поэтому электроны не могут двигаться по электрическому полю, а против поля могут. Это приводит к тому, что электроны приобретают преимущественное направление скорости против поля.

Направленное движение носителей заряда под действием электрического поля называют дрейфом. Разгоняясь в электрическом поле, электроны переходят на более высокие энергетические уровни. При очередном соударении электрона с атомом кристаллической решетки, электрон отдает кристаллической решетке накопленную на длине свободного пробега энергию, возвращаясь на один из нижележащих уровней. Электроны, расположенные в глубине от уровня Ферми, не могут обмениваться энергией с кристаллической решеткой, ибо для них все ближайшие энергетические состояния заняты.

Если в образце присутствуют носители заряда обоих знаков (электроны и дырки), то по закону Ома плотность дрейфового тока j равна

j E e n n p p E ,

где e – элементарный заряд, n – концентрация электронов, p – концентрация дырок, μn –

подвижность электронов, т.е. величина численно равная средней скорости их направленного движения в электрическом поле с Е=1 В/м, μp – подвижность дырок, σ –

удельная электропроводность полупроводника.

Таким образом, удельная электропроводность пропорциональна концентрации носителей заряда и их подвижности. Рассмотрим эти два фактора подробнее.

2. Концентрация носителей заряда.

Концентрация свободных носителей заряда сильно зависит от структуры энергетических зон материала. Она принципиально отлична для металлов и полупроводников (рис.1).

2.1. Полупроводники

В собственном полупроводнике при температуре абсолютного нуля отсутствуют свободные носители заряда, т.к. валентная зона полностью занята электронами, а зона проводимости пуста. При температурах выше абсолютного нуля некоторые электроны

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

валентной зоны могут быть переброшены в зону проводимости, т.е. имеет место тепловая генерация пар носителей заряда – в зоне проводимости появляются электроны, а в валентной зоне - дырки. Кроме тепловой генерации носителей заряда в

полупроводнике существует и их рекомбинация, т.е. возвращение электронов из зоны проводимости в валентную зону, в результате чего исчезает пара носителей заряда. В равновесии эти процессы при любой температуре взаимно уравновешиваются.

а б в г

Рис.1. Структура энергетических зон а) беспримесного (собственного) полупроводника, б) полупроводника с донорной примесью, в) полупроводника с акцепторной примесью, г) металла. Нижняя зона - заполненная валентная зона, верхняя зона - пустая зона проводимости. EF -

уровень Ферми.

Большинство полупроводников при комнатной температуре и выше являются невырожденными, т.е. распределение электронов по энергиям подчиняется статистике Максвелла-Больцмана. Это распределение зависит также от плотности энергетических

уровней в зоне, т.е. от числа состояний, приходящихся на единичный интервал энергии в единице объёма. Поэтому собственные концентрации электронов и дырок равны

где эффективные плотности энергетических уровней в запрещенной зоне Nc и

Двойка учитывает наличие двух электронов с противоположно направленными спинами на каждом энергетическом уровне. В собственном полупроводнике ni=pi и

уровень Ферми расположен приблизительно посередине запрещенной зоны: EF Ec Ev . Приняв Ev за начало отсчета энергии, получим

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Электроны в зоне проводимости и дырки в валентной зоне могут появляться также за счет ионизации примесей - доноров и акцепторов соответственно. Концентрации примесных носителей заряда в n- и р-полупроводниках равны

II

Рис. 2. Зависимость концентрации свободных носителей заряда в полупроводнике от обратной температуры.

В области низких температур (область I) с увеличением температуры и,

следовательно, с увеличением энергии теплового движения концентрация свободных носителей заряда растет за счет ионизации примесей. Угол наклона участка I

характеризует энергию ионизации примеси. В этом температурном диапазоне уровень Ферми находится между примесными уровнями и краем соответствующей зоны и с ростом температуры плавно смещается от края разрешенной зоны вглубь запрещенной зоны при повышении температуры.

При некоторой температуре (температура Т1) вероятность заполнения

примесных уровней становится равной 50% и уровень Ферми совпадает по энергии с примесным уровнем. При дальнейшем увеличении температуры (участок II)

концентрация носителей заряда не увеличивается, так как все примеси уже ионизированы, а вероятность ионизации собственных атомов ещё ничтожно мала.

При относительно больших температурах (участок III) концентрация свободных

носителей заряда растет с увеличением температуры вследствие перехода электронов через запрещенную зону и рождения пары носителей электрон-дырка. Наклон этого

участка кривой характеризует ширину запрещенной зоны полупроводника. Уровень Ферми при этих температурах расположен вблизи середины запрещенной зоны. Температура Т2 при которой наступает собственная проводимость тем ниже, чем

меньше ширина запрещенной зоны полупроводника.

2.2. Металлы

В отличие от полупроводников в металлах свободные электроны остаются вырожденными и вероятность заполнения энергетических состояний электронами определяется функцией Ферми:

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

где E – энергия уровня, вероятность заполнения которого определяется; EF- энергия Ферми. Величина EF определяет максимальное значение энергии, которую может иметь электрон в металле при температуре абсолютного нуля. Следует отметить, что EF не

зависит от объема кристалла, а определяется только концентрацией свободных электронов, что непосредственно вытекает из принципа Паули. Поскольку концентрация свободных электронов в металле весьма велика, энергия Ферми также оказывается высокой и в типичных случаях составляет 3 – 15 эВ.

При нагревании кристалла ему сообщается тепловая энергия порядка kT. За счет

этого возбуждения некоторые электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми, переходят в состояния с более высокой энергией. Однако дополнительная энергия, получаемая электронами за счет теплового движения, очень незначительна по сравнению с EF и составляет всего несколько сотых долей электрон вольта. Поэтому

характер распределения электронов по энергиям также изменяется очень незначительно: средняя энергия электронов практически остается без изменения.

Электронный газ в металле остается вырожденным до тех пор, пока любой из электронов не сможет обмениваться энергией с кристаллической решеткой, а это, в свою очередь, возможно лишь тогда, когда средняя энергия тепловых колебаний станет близкой к энергии Ферми. Для металлов температура снятия вырождения по порядку величины составляет 104 К, т.е. превышает не только температуру плавления, но и

температуру испарения металлов.

Вследствие вырождения в процессе электропроводности могут принимать участие не все свободные электроны, а только небольшая часть их, имеющая энергию, близкую к энергии Ферми. Только эти электроны способны изменять свои состояния под действием поля.

Если считать, что каждый атом в металле поставляет один свободный электрон, то концентрация свободных электронов равна концентрации атомов и может быть

где d – плотность металла; А – атомная масса; N0– число Авогадро.

3. Подвижность

На величину подвижности носителей заряда в основном влияют два физических фактора: рассеяние носителей заряда на тепловых колебаниях решетки (фононах) и на структурных дефектах (ионы примесей, вакансии дислокации и т.п.).

μ

N1

μ~T3/2

T

Рис.3. Температурная зависимость подвижности носителей заряда.

При низких температурах преобладает рассеяние на ионах примесей. Время пребывания носителей вблизи иона примеси возрастает с понижением температуры,

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

т.к. скорость хаотического движения уменьшается, увеличивается длительность пребывания носителя вблизи иона и время воздействия электрического поля иона на носитель заряда. Поэтому с уменьшением температуры подвижность носителей заряда уменьшается: μ ~ T3/2. При высоких температурах преобладает рассеяние на фононах. Поэтому с увеличением температуры подвижность носителей уменьшается μ ~ T-3/2.

4. Электропроводность.

Зная влияние температуры на концентрацию и подвижность носителей заряда, можно представить и общий ход кривой удельной электропроводности от температуры.

Концентрация носителей заряда в полупроводниках сильно зависит от температуры – по экспоненциальному закону, а на подвижность изменение температуры влияет слабее – лишь по степенному закону. Поэтому температурная зависимость удельной проводимости похожа на температурную зависимость концентрации носителей при очень малых (область I) и больших температурах (область III). В среднем диапазоне температур (область II), когда все примеси уже истощены, а

собственных носителей заряда ещё пренебрежимо мало, температурные изменения удельной проводимости обусловлены температурной зависимостью подвижности.

Рис. 4. Зависимость удельной электропроводности полупроводника от обратной температуры.

При комнатной температуре концентрация собственных носителей мала (ni(Si) ~ 1010 см-3 , ni(Ge) ~ 1013 см-3), все примеси ионизированы, и количество носителей заряда

определяется концентрацией примесей. В области высоких температур, когда тепловая генерация собственных носителей дает заметный вклад в концентрацию свободных носителей, удельная электропроводность равна:

электропроводности полупроводника от температуры можно определить ширину запрещенной зоны.

В металлах концентрация электронов с ростом температуры изменяется слабо, поэтому основной вклад в температурную зависимость электропроводности вносит рассеяние на колебаниях решетки и ионизированных атомах примесей. Квантовые представления приводят к следующему выражению для удельной электропроводности металла

где – удельное сопротивление, e - элементарный заряд, n – концентрация электронов, λ – средняя длина свободного пробега электрона, h – постоянная Планка.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

При очень низких температурах колебания кристаллической решетки малы и рассеяние на фононах отсутствует. Если металл не содержит дефектов (примесей, вакансий, дислокаций и т.п.), то электроны не рассеиваются и металл находится в сверхпроводящем состоянии. При наличии дефектов металл обладает постоянным остаточным сопротивлением. С ростом температуры концентрация электронов изменяется мало, а колебания кристаллической решетки усиливаются (количество фононов увеличивается), то подвижность электронов уменьшается, что приводит к уменьшению средней длины свободного пробега. Соответственно удельное сопротивление металла возрастает.

ρ

Рис. 5. Зависимость удельного сопротивления металла от температуры.

Взависимости удельного сопротивления металла от температуры в широком диапазоне температур (рис. 5) можно выделить несколько характерных участков:

I – наблюдается сверхпроводимость у чистых металлов и остаточное

сопротивление у металлов с дефектами;

II – переходная область с сильной степенной зависимостью ρ ~ Tm , где показатель степени убывает от m=5 до m=1 при T=Θ (Θ - температура Дебая металла,

характеризующая максимально возможную энергию колебаний кристаллической решетки);

III – линейный участок, у большинства металлов простирается до температур,

порядка ⅔Θ, т.е от комнатных до близких к точке плавления;

IV – вблизи точки плавления начинается отклонение от линейной зависимости,

вызванное ангармоничностью колебаний кристаллической решетки.

Вобласти линейной зависимости удельного сопротивления от температуры справедливо выражение

где Т0 – начальная температура, ρ0 – удельное сопротивление при Т0, α –

температурный коэффициент удельного сопротивления, показывающий насколько изменяется удельное сопротивление при изменении температуры на один Кельвин.

Из (3) следует, что измерив электропроводность металла и зная концентрацию свободных электронов можно определить среднюю длину свободного пробега электрона в металле.

5. Экспериментальная установка.

В связи с тем, что сопротивление полупроводников и металлов сильно отличаются друг от друга, экспериментальная установка состоит из двух частей.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Электрическая схема измерений для полупроводникового образца представлена на рис.6.

2

0…12 В

Рис.6. Схема установки для измерения электропроводности полупроводника.

Образец германия 1 имеет геометрические размеры: 20×10×1 мм3 . Он закреплен на подложке и укреплен в измерительном модуле. Модуль через вход АС (alternating current - переменный ток) на задней стороне напрямую соединяется с выходом 12 В

источника 2. Напряжение измеряется мультиметром 3, который подключается через два нижних гнезда на передней стороне модуля. Температура и ток отображаются на дисплее 4 модуля. Режим индикации дисплея устанавливается с помощью кнопки «Display». Ток через образец не должен превышать 30 мА. Нагрев образца начинается и прекращается при нажатии на кнопку «on/off» на задней стороне модуля.

Стабилизации температуры не предусмотрено.

Электрическая схема для измерений электропроводности металла приведена на

рис.7.

=30 В/20 А

Рис.7. Схема установки для измерения электропроводности металла.

Здесь 1 - образец меди размерами 28 мм × 25.5 мм ×18 мкм; 2 - источник постоянного тока, обеспечивающий ток до 20 А; 3 - милливольтметр; 4 - амперметр; 5 -

вспомогательный проводник в форме меандра, протекание тока через который приводит к нагреву образца; 6 - источник переменного тока, обеспечивающий ток через меандр; 7 - термопара с измерителем температуры.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

6. Порядок выполнения работы

6.1 Измерения электропроводности полупроводника. 6.1.1. Ознакомление с приборами.

Убедиться, что собранная электрическая схема соответствует рис. 6.

Включить источник тока с помощью выключателя, находящегося на задней панели прибора. Убедиться, что на измерительном модуле загорелся индикаторный светодиод. Ознакомиться с имеющимися на передней панели модуля органами управления:

кнопка Ip – T – переключает дисплей модуля на индикацию тока через образец Ip или температуры tº;

-Ip +

гнезда для измерения напряжения на образце U расположены в нижней

части модуля.

Установить ток через образец Ip равным 0.

Включить цифровой мультиметр и ознакомиться с его органами управления. В мультиметре предусмотрено автоматическое отключение питания при длительном простое, в этом случае надо еще раз его включить.

6.1.2. Измерения электропроводности полупроводника

1) Измерить зависимость падения напряжения U на образце от тока через образец Iр при комнатной температуре. Изменять ток от 0 до 30 мА с шагом 5 мА.

Табл.1.

2). Измерить зависимость падения напряжения на образце от температуры при заданном значении тока (задается преподавателем в пределах от 5 до 30 мА). Предварительно необходимо нагреть образец до температуры 170 ºС, а данные снимать при охлаждении образца. Для этого:

а) переключить индикатор модуля на измерение температуры; б) нажать кнопку «on/off» на задней панели модуля;

в) дождаться температуры 170 ºС.

г) выключить нагрев кнопкой «on/off».

е) измерения проводить от 170 ºС до 60 ºС с шагом 10 ºС, от 60 ºС до 40 ºС с шагом 5ºС, от 40 ºС до комнатной – с шагом 2 ºС. Данные занести в табл.2.

Табл.2.

6.1.3. Обработка результатов

1)По результатам табл.1 построить зависимость Ip от U. По наклону линии определить сопротивление R0, удельное сопротивление ρ0 и удельную проводимость σ0

образца при комнатной температуре. Определить погрешность этих величин.

2)Заполнить табл.2 , используя соотношение:

1 I ,

US

где площадь сечения образца S=10 мм2, длина образца ℓ=20 мм.

3)Построить зависимость падения напряжения на образце U от температуры tº

по данным табл.2.

4)Построить зависимость ln(σ) от обратной температуры 1/Т. По наклону

высокотемпературной ветви графика рассчитать ширину запрещенной зоны образца:

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

tg(α)=Eg/(2k),

где Eg – ширина запрещенной зоны образца, k=1,38·10-23 Дж/К=8,625·10-5 эВ –

постоянная Больцмана. Определить погрешность измерений.

6.2 Измерения электропроводности металла

6.2.1.Ознакомление с приборами. Амперметр встроен в источник постоянного тока 2. Изучить пределы измерений приборов. Проверить соответствие выбранного диапазона измерений напряжения и правильность подключения проводов к мультиметру..

6.2.2.Измерение электропроводности металла

1)Измерить и записать температуру в комнате.

2)Измерить зависимость падения напряжения U на образце от тока через образец I при комнатной температуре. Изменять ток от 0 до 18 А с шагом 1 А. Данные

занести в табл.3. Табл.3.

3) Измерить зависимость падения напряжения на образце от температуры при заданном значении тока (задается преподавателем в пределах от 5 до 15 А). Предварительно необходимо нагреть образец до температуры 110 ºС, а данные снимать при охлаждении образца. Для этого:

а) включить источник переменного тока на напряжение 6 В; б) дождаться температуры 110 ºС; в) выключить источник переменного тока 6;

г) измерения проводить от 110 ºС до комнатной температуры с шагом 10 ºС. Данные занести в табл.4.

Табл.4.

6.2.3. Обработка результатов

1)По результатам табл.3 построить зависимость I от U. По наклону линии

определить сопротивление R0, удельное сопротивление ρ0 и удельную проводимость σ0

образца при комнатной температуре. Определить погрешность этих величин.

2)Заполнить табл.4 , используя соотношение:

1 I ,

US

где площадь сечения образца S= 25.5 мм ×18 мкм, длина образца ℓ = 28 мм.

3)Построить зависимость логарифма удельной проводимости ln(σ) от обратной

температуры 1/Т. Сравнить с аналогичной зависимостью для полупроводника. Объяснить различия.

3)Построить зависимость удельного сопротивления металла ρ от температуры T

по данным табл.4.

4)Проверить выполнение линейной зависимости ρ(T) в исследуемом диапазоне

температур. Определить температурный коэффициент удельного сопротивления меди :

Сравнить со справочными данными.

5)Используя формулы (1) и (3) определить длину свободного пробега электрона

вмеди. Построить зависимость средней длины свободного пробега электрона в металле от температуры.