vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Санкт- Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова
(технический университет)
Кафедра общей и технической физики.
МЕХАНИКА
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2011 г.
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Лабораторный экземпляр |
Лабораторная работа № 5 |
01.09.2011 |
Ц е л ь р а б о т ы |
- исследовать зависимость момента инерции |
крестовины с |
надетыми на нее грузиками от распределения массы относительно оси вращения, проходящей через центр масс.
Общие сведения
В основе эксперимента лежит основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела
|
|
, |
(1) |
M = J ; |
M / J |
||
где M - суммарный момент внешних сил, |
приложенных к телу относительно оси |
||
вращения; J - момент инерции тела относительно той же оси; - угловое ускорение.
В динамике вращательного движения различают два понятия: момент силы относительно точки и момент силы относительно оси вращения.
М о м е н т с и л ы о т н о с и т е л ь н о т о ч к и О определяется как векторное произведение
М = r F ,
где F - сила, r - радиус-вектор, проведенный из точки О, в точку приложения силы.
М о м е н т с и л ы о т н о с и т е л ь н о о с и в р а щ е н и я есть проекция М на произвольную ось z, которая проходит через точку О:
|
Мz r F . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М о м е н т и н е р ц и и т е л а является мерой инертности |
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тела при вращательном движении, подобно тому как масса тела является |
|
MI |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
мерой инертности тела при поступательном движении. Момент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
инерции тела зависит от |
распределения массы тела относительно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
оси вращения. Для вычисления момента инерции твердого тела |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
относительно данной оси |
разобьем мысленно тело на большое число |
|
O |
|||||||||||||
весьма малых элементов - |
материальных точек (рис.1). Тогда момент |
|
|
Рис.1 |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
инерции тела |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J lim mr2 |
|
mi 0 i |
i i |
|
|
или |
|
J r2dm r2dV , |
|
где mi - масса элемента; ri - расстояние от элемента до оси вращения; - плотность вещества в элементе объема dV, находящегося на расстоянии r от оси вращения. Таким
образом, задача нахождения момента инерции сводится к интегрированию.
|
|
|
|
Из формулы (1) следует, что угловое ускорение вращающегося |
|
|
|
|
тела прямо пропорционально моменту внешних сил М и обратно |
|
|
|
RO |
пропорционально моменту инерции J. Следует подчеркнуть, что |
|
|
|
момент инерции не зависит ни от момента внешних сил М, ни от |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
углового ускорения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Маятник Обербека состоит из крестовины, на стержнях которой |
|
|
F |
|
находятся грузы. Они могут перемещаться по стержням и закрепляться |
|
|
|
в нужном положении (рис.2 ). Крестовина с грузами насажена на вал, |
|
|
|
|
|
Fна котором укреплены два шкива различного радиуса. На шкив намотана нить, которая переброшена через блок. К ее концу привязана
|
|
|
гирька, момент силы тяжести которой уравновешивает момент сил |
|
|
|
MG |
трения (вес этой гирьки в расчетах не учитывается). |
|
Рис.2 |
К концу нити подвешивают груз массой m, под действием силы |
|||
тяжести которого система приводится в движение. На груз действует |
||||
|
|
|
||
2
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Лабораторный экземпляр Лабораторная работа № 5 01.09.2011
сила тяжести P=mg и сила натяжения F, поэтому на основании второго закона Ньютона
можно записать
mg F ma , |
(2) |
где g - ускорение свободного падения; а - ускорение, с которым движется груз.
Крестовина приходит во вращательное движение под действием момента силы
натяжения |
|
|||
|
М = Frо , |
(3) |
||
где rо - радиус шкива. |
|
|||
Из уравнений (1)-(3) можно получить |
|
|||
J mr0 g a / , |
(4) |
|||
Так как угловое ускорение связано с ускорением а соотношением = а/r0 , то формулу |
||||
(4) можно записать в виде |
|
|||
J mr02 g a / a , |
(5) |
|||
где а = 2h/t2; h - путь, пройденный грузом за время t. |
|
|||
Таким образом, |
|
|||
J |
mr02 ( gt 2 2h) |
|
(6) |
|
2h |
||||
|
|
|||
Порядок выполнения работы
Проверить, что две неподвижные рамки установлены на вертикальной линейке на расстоянии 40 – 50 см друг от друга. Измерить радиус шкива r0.
Последовательность проведения измерений следующая:
1)установить грузы на стержнях на максимальном расстоянии от оси вращения и закрепить их;
2)намотать нить на шкив, установив подвешенный груз на уровне верхней рамки;
3)отпустить груз и измерить время t его движения до нижней рамки (взять не менее трех отсчетов t и вычислить t );
4)сместить грузы на стержнях на два деления к центру и повторить пп.1-3, измерить расстояние r от оси вращения до центра масс груза;
5)повторить пп.4 для 8-10 положений грузов.
Результаты измерений удобно представить в виде табл.1.
Таблица 1
Физ. величина |
r |
t |
t |
Jэ |
Jр |
Ед. измерения |
|
|
|
|
|
Номер опыта |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
__________________
П р и м е ч а н и е . Jэ рассчитывается по формуле (6).
Из теоретических соображений следует, что момент инерции крестовины с четырьмя грузами массой m , если считать грузы материальными точками, можно выразить
формулой
Jp J0 4m r2 , |
(7) |
где J0 - момент инерции тела при r = 0.
3
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Лабораторный экземпляр |
Лабораторная работа № 5 |
01.09.2011 |
Из формулы (7) следует, что J = f(r2). Следовательно, если построить график этой функции в координатах J - r2, то должна получиться прямая, продолжение которой будет пересекать ось ординат в некоторой точке, соответствующей J0. Такое построение можно
сделать приближенно, «на глаз». Однако математические методы обработки результатов наблюдения позволяют сделать такое построение достаточно точным. Наиболее просто это можно сделать, с помощью метода наименьших квадратов, вычислив J0 и m .
Для удобства перепишем формулу (7) в виде
|
|
|
|
|
|
|
Jp |
J0 bx , |
|
|
|
|
(8) |
|||
где r2 = х и 4m' = b. Метод наименьших квадратов позволяет найти J0 |
и b: |
|||||||||||||||
|
|
|
J0 xi2 Ji xi xi Ji |
; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|||
|
|
|
|
|
N xi Ji xi Ji |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
b |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где N xi2 xi 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
; |
N число |
опытов; Ji - |
экспериментальное значение |
|||||||||||||
момента инерции Jэ, полученное для каждого опыта (табл.1). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Обработку результатов эксперимента удобно вести в форме табл.2. |
|
Таблица 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер опыта |
|
|
ri |
|
xi |
|
Ji |
|
|
xi2 |
|
xiJi |
|
|
|
|
Ед. измерения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Номер опыта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассчитав |
|
|
|
|
|
|
xi |
|
Ji |
|
xi2 |
|
xi Ji |
|
|
|
J0 и b по формулам |
(9), следует построить зависимость J |
от x по формуле |
||||||||||||||
(8). Так как через две точки можно провести только одну прямую, то для построения этой прямой можно взять какие-нибудь две удобные точки. Далее по формуле (8) рассчитать момент инерции JP для каждого опыта, заполняя последний столбец табл.1.
Среднее квадратичное отклонение
|
|
N |
2J |
1 |
Jэ Jp 2 . |
|
||
|
N 2 i 1 |
|
По данным опыта и расчетов следует построить график функции в координатах J - r2
(8), полученный методом наименьших квадратов, и вычислить доверительный интервал измерения момента инерции в границах Jэ J и Jэ J .
Контрольные вопросы
1.Что такое момент инерции? От чего он зависит? Как можно рассчитать момент инерции?
2.В чем заключается основное уравнение динамики вращательного движения? Что такое момент силы?
3.Что должно измениться в формуле (6), если изменить массу груза m и радиус шкива
r0?
4.Как выглядит график зависимости момента инерции в координатах J - r2; J - r? Почему результаты опыта лучше обрабатывать в координатах J - r2 ?
5.Почему график зависимости J = f (r2) не проходит через начало координат? Какой смысл имеет величина J0 ?
6.Какой смысл имеет тангенс угла наклона графика к горизонтальной оси?
4