Повторение испытаний.

Формула Бернулли: вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна р (0<p<1), событие наступит ровно k раз, вычисляется по формуле:

.

Вероятность того, что событие наступит:

1. менее k раз: ;

2. более k раз: ;

3. не менее k раз: ;

4. не более k раз: .

Задача 5. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжении одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,65. Найти вероятность того, что в ближайшие 7 суток расход электроэнергии не превысит нормы в течение: а) 3 суток; б) не более 2 суток.

Решение: Воспользуемся формулой Бернулли. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых 7 суток постоянна и равна р=0,65. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q=1p=0,35.

а) .

б)

Дискретная случайная величина.

Случайной величиной называется величина, которая в результате испытаний примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Дискретной называется случайная величина, принимающая отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Если случайная величина Х может принимать значения x₁, x₂, … x_n, с вероятностями p₁, p₂, … p_n соответственно, то математическое ожидание определяется по формуле:

.

Если дискретная случайная величина Х принимает счетной множество возможных значений, то математическое ожидание определяется по формуле (если ряд сходится абсолютно):

.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Формула для вычисления дисперсии:

.

Средним квадратическим отклонением дискретной случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

.

Задача 6. Случайная величина Х задана законом распределения (в первой строке таблицы указаны возможные значения х_i случайной величины Х, во второй строке даны вероятности р_i этих значений):

хi	1	2	3	4	5
рi	1/42	5/21	10/21	5/21	1/42

Найти числовые характеристики закона распределения: математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое  (X) отклонение. Решение: Математическое ожидание случайной величины Х найдем по формуле:

.

Дисперсию случайной величины Х найдем по формуле:

,

где .

.

Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле:

.

Таким образом, числовые характеристики данного закона распределения:

; ; .