Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Суммой А+В двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Произведением АВ двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий (совмещении событий).

Условной вероятностью или называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

.

Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е.

.

Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂, … А_n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий , ,… :

,

где - вероятность события ;

- вероятность события ;

.

Задача 3. Брошены три игральные кости. Найти вероятность того, что: а) на каждой из выпавших граней появится два очка; б) на двух выпавших гранях появится два очка, а на третьей грани – другое число очков; в) хотя бы на одной из выпавших граней появится два очка.

Решение: а) Введем обозначения событий:

А - на каждой из выпавших граней появится два очка;

А₁ – на грани появится два очка;

А₂ – на второй выпавшей грани появится два очка;

А₃ – на третьей выпавшей грани появится два очка.

Интересующее нас событие А состоит в совмещении событий А₁, А₂ и А₃, т.е. А=А₁А₂А₃. Вероятность того, что на любой выпавшей грани появится два очка, равна . События А₁, А₂ и А₃, независимы в совокупности, тогда по теореме умножения

.

б) Введем обозначения событий:

А - на двух выпавших гранях появится два очка, а на третьей грани – другое число очков;

А₁ - на первой выпавшей грани появится два очка;

- на первой выпавшей грани не появится два очка;

А₂ – на второй выпавшей грани появится два очка ;

- на второй выпавшей грани не появится два очка;

А₃ – на третьей выпавшей грани появится два очка;

- на третьей выпавшей грани не появится два очка.

Интересующее нас событие А состоит в сумме следующих несовместных событий: . Вероятность того, что на грани появится два очка, равна . Вероятность того, что на грани не появится два очка, равна . События А₁, А₂ и А₃, независимы в совокупности, применяя теоремы сложения несовместных событий и умножения независимых событий, получим:

.

в) Введем обозначения событий:

А - хотя бы на одной из выпавших граней появится два очка;

- ни на одной из выпавших граней не появится два очка;

- на первой выпавшей грани не появится два очка;

- на второй выпавшей грани не появится два очка;

- на третьей выпавшей грани не появится два очка.

Вероятность того, что на грани не появится два очка, равна .

Вероятность события А равна , где .

Получим:

;

.

Задача 4. Слово «вероятность», составленное из букв – кубиков. Буквы, сложены в коробку. Из коробки наугад по одной извлекают шесть букв –кубиков. Какова вероятность того, что получится слово «трость», если: а) буквы не возвращаются в ящик; б) выбранные буквы возвращаются и перемешиваются перед каждым следующим их извлечением.

Решение: а) Введем обозначения событий:

А – составлено слово «трость»;

A₁ – первая извлеченная буква-кубик «Т»;

A₂ - вторая извлеченная буква-кубик «Р»;

A₃ - третья извлеченная буква-кубик «О»;

A₄ - четвертая извлеченная буква-кубик «С»;

A₅ - пятая извлеченная буква-кубик «Т»;

A₆ - шестая извлеченная буква-кубик «Ь».

Интересующее нас событие А состоит в совмещении событий А_i, i=1,2…6, т.е. А=А₁А₂А₃А₄А₅А₆. Т.к. извлеченные буквы обратно в ящик не возвращаются, то события А_i, i=1,2…6 являются зависимыми. Применим теорему произведения зависимых событий:

Вероятность того, что первая извлеченная буква – «Т», равна . Вероятность того, что вторая извлеченная буква – «Р» при условии, что первой извлекли «Т», равна. . Вероятность того, что третья извлеченная буква – «О» при условии, что уже извлекли «Т» и «Р», равна . Вероятность того, что четвертая извлеченная буква – «С» при условии, что уже извлекли «Т», «Р» и «О», равна . Вероятность того, что пятая извлеченная буква – «Т» при условии, что уже извлекли «Т», «Р», «О» и «С», равна