Раздел: Двойственная задача лп. Тема: Взаимосвязь прямой и двойственной задачи.

Двойственная задача – это вспомогательная задача ЛП, которая формулируется с помощью определенных правил из условий прямой или исходной задачи, приведенной к стандартной форме.

Исходную задачу, приведенную к стандартной форме, можно записать в общем виде:

	max Z = C1X1 + C2X2 + … + CnXn
	(min)
{	a11x1 + a12x2 + … + а1nxn = b1 ( у1)
	a21x1 + a22x2 + … + а2nxn = b2 (у)2
	…
	am1x1 + am2x2 + … + аmnxn = bm (у)m

В состав n переменных xj входят остаточные и избыточные переменные.

Max(min) Z=

При ограничениях i=1,2,…m

x_j>=0 j=1,2…n

Двойственная задача формулируется по следующим правилам:

• Каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи.

• Каждой переменной прямой задачи соответствует ограничение двойственной задачи.

• Правые части ограничений становятся коэффициентами целевой функции двойственной задачи.

Направление оптимизации, ограничения и знаки запишем в виде таблицы:

Прямая задача	Двойственная задача
Целевая функция	Целевая функция	Ограничения	Переменные
max	min	≥	Не ограничены в знаке
min	max	≤	Не ограничены в знаке

Двойственная задача:

Min(max) W=

При ограничениях i=1..m j=1..n

y_i не огранич. в знаке

Между прямой и двойственной задачами существует тесная взаимосвязь. Оптимальное решение одной из задач можно получить из данных симплекс-таблицы для оптимального решения другой задачи.

Трудоемкость вычислений при решении задач зависит в большей степени от числа ограничений, чем от количества переменных, поэтому если в двойственной задаче ограничений меньше, то целесообразней решать ее, а полученный результат использовать для нахождения оптимального решения прямой задачи.

Пример: max Z = 5 х₁ + 12 х₂ + 4 х₃

{	х1 + 2 х2 + х3 ≤ 10 - (1) 2 х1 - х2 + 3 х3 = 8 - (2)

x₁ , x₂ , x ₃ ≥ 0

max Z = 5 х₁ + 12 х₂ + 4 х₃ + 0 х₄ - MR

{	х1 + 2 х2 + х3 + х4 = 10 - (1) 2 х1 - х2 + 3 х3 + R = 8 - (2)

x₁ , x₂ , x ₃, x₄ , R ≥ 0

Оптимальное решение:

Баз. Пер.	Х1	х2	х3	х4	R	Решение
Z	0	0	3/5	29/5	- 2/5 + М	274/5
Х2	0	1	- 1/5	2/5	- 1/5	12/5
Х1	1	0	7/5	1/5	2/5	26/5

Двойственная задача:

min w = 10 y₁ + 8 y₂

{	y1 + 2 y2 ≥ 5 - (1) 2 y1 - y2 ≥ 12 - (2) y1 + 3 y2 ≥ 4 - (3) y1 + 0 y2 ≥ 0 - (4) 0 y1 + y2 ≥ - M - (5)

y₁ ≥ 0, , y₂ – не ограничен в знаке

y₂ = y ₂’- y₂ “

Баз. Пер.	y1	y2’	y2“	Y3	х4	х5	R1	R2	R3	Решение
Z							26/5 - М	12/5 - М	- М	274/5
Y5							7/5	- 1/5	- 1	3/5
y2“							- 2/5	1/5	0	2/5
y1							1/5	2/5	0	29/5

y₂ = 0 – 2/5 = - 2/5; y ₁ = 29/5; w = 274/5;

1. max Z = min w = 274/5 , то есть значения целевых функций совпадают;

2. коэффициент при начальной базисной переменной в оптимальном Z уравнении прямой задачи равен разности между левой и правой частями ограничений двойственной задачи, соответствующих данной переменной.

29/5 = y₁ – 0; y ₁ = 29/5

-2/5 + М = y₂ + М; y ₂ = - 2/5;

Оптимальное решение прямой задачи можно определить из симплекс-таблицы для оптимального решения двойственной задачи. Двойственная задача к двойственной есть ни что иное, как прямая задача.

Тема: Двойственный симплекс-метод.

В обычном симплекс-методе начальное решение допустимое, но не оптимальное. Итерационный процесс постепенно приводит решение к оптимальному. В двойственном симплекс-методе начальное решение оптимальное, но не допустимое. Итерационный процесс постепенно приводит его к допустимому. Такой метод решения подходит для определенного класса задач, в которых начальное решение оптимальное, но не допустимое.

Например, min z=2x₁+x₂

3x₁+x₂>=3

4x₁+3x₂>=6

x₁+2x₂<=3

x ₁,x₂>=0

П реобразуем все ограничения в неравенства со знаком <=, умножив правую и левую части на (-1). Решение становится недопустимым. Приведем к стандартной форме, введя остаточные переменные.

-3x₁-x₂+x₃=-3

-4x₁-3x₂+x₄=-6

x₁+2x₂+x₅=3

x₁,x_2,x₃,x₄,x₅>=0

min z-2x₁-x₂=0

Так как задача min, а в z-строке все коэффициенты отрицательные и нулевые, то начальное решение оптимальное. Если в правых частях ограничений есть хотя бы одно отрицательное значение, то решение недопустимое.

Баз. Пер.	Х1	х2	х3	х4	х5	Решение
Z	-2	-1	0	0	0	0
Х3	-3	-1	1	0	0	-3
Х4	-4	-3	0	1	0	-6
Х5	1	2	0	0	1	3

Условие допустимости:

В качестве исключаемой выбирается наименьшая отрицательная базисная переменная. Если все базисные переменные неотрицательные, процесс вычислений заканчивается, так как полученное решение и оптимальное и допустимое.

Условие оптимальности:

Выбор включаемой переменной производится следующим образом. Вычисляются отношения коэффициентов z-строки к отрицательным коэффициентам исключаемой строки. В задаче min выбирается минимальное отношение, в задаче max - наибольшее отношение. При наличии альтернатив выбор делается произвольно. Если в отношениях все знаменатели положительные или нулевые, задача не имеет допустимых решений.

После выбора включаемой и исключаемой переменных выполняются те же операции, как и в обычном симплекс-методе.

Итак,

X4 – исключаемая переменная

X2 – включаемая переменная.

Оптимальное решение:

Баз. Пер.	Х1	х2	х3	х4	х5	Решение
Z	0	0	-2/5	-1/5	0	12/5
Х1	1	0	-3/5	1/5	0	3/5
Х2	0	1	4/5	-3/5	0	6/5
Х5	0	0	-1	1	1	0

Полученное решение является и оптимальным и допустимым.