Шість основних типів задач розв'язання прямокутних сферичних трикутників
Дано |
Знайти |
Формули для обчислення шуканих елементів |
|
Гіпотенузу
кути
|
(2):
(6): (6):
|
2.
Гіпотенуза
і катет
|
Катет
кути
|
(8): З
(7):
З
(4):
Тоді
|
3. Гіпотенуза
і
прилеглий кут
|
Катети
кут |
З
(10):
З
(7):
З
(3):
|
4. Катет та протилежний кут
|
Катет гіпотенузу кут |
(6): звідки
З
(7):
З (3):
|
5. Катет та прилеглий кут
|
Катет гіпотенузу кут |
(6): звідки
З
(10):
З
(10):
З
(9)
|
6. Дано два кути та прилеглі до гіпотенузи
|
Катети
гіпотенузу
|
З
(9):
З
(9):
З
(9):
|
(8):
звідки
тоді
звідки
тоді
,
тоді
тоді
,
,
,
4. Приклади розв’язання задач
а) Розв’язати сферичний трикутник, у якого:
а = 790331 , b = 650281, с = 370531
Розв’язання
Перевіримо, чи існує трикутник з такими сторонами.
00 < а = 790331 < 1800, 00 < b = 650281 < 1800, 00 < c = 370531 < 1800,
a+b = 790331 + 650281 = 1450011 > c = 370531,
a+c = 790331 + 370531 = 1170261 > b = 650281,
b+c = 650281 + 370531 = 1030211 > a = 790331.
Трикутник з такими сторонами може існувати.
Дано |
Знайти |
Формули для обчислення шуканих елементів |
1. Три сторони
|
Кути
|
(2):
|
Обчислення кута А.
cosa
= cosb
cosc
+ sinb
sinc
cosA,
,
cosa = cos790331 = 0,1814,
cosb = cos650281 = 0,4152,
cosc = cos370531 = 0,7893,
cosb cosc =0,4152*0,7893= 0,3277,
sinb = sin 650281 = 0,9097,
sinc = sin 370531 = 0,6141,
sinb sinc = 0,9097*0,6141=0,5586,
cosa – cosb cosc= 0,1814 - 0,3277= - 0,1463,
=
=-0,2619,
A=arccos(-0,2619)=1800-arccos 0,2619=1050101.
Обчислення кута В.
|
Контроль обчислень
Обчислення виконано правильно, залишається лише перевірити, чи існує трикутник з такими даними.
|
,
0,4152,
0,1814,
0,7893,
0,1432,
0,272,
0,9834,
0,6141,
0,6039,
,
,
,
звідки
,
0,9834*0,8928=0,8780,
0,9097*0,9652=0,8781,
Обчислення кута С
0,4152, 0,1814, 0,7893,
0,9834,
|
Контроль обчислень
Обчислення виконано правильно, залишається лише перевірити, чи існує трикутник з такими даними. (Перевірку виконати самостійно) |
,
0,0753,
0,714,
0,9097
0,8946,
,
.
,
звідки
,
0,9834*0,6025=0,5925,
0,6141*0,9652=0,5927,
Відповідь:
,
,
б)
Розв’язати
сферичний трикутник, у якого
,
,
.
Розв’язання.
Перевіримо, чи існує сферичний трикутник з такими кутами:
,
,
,
,
,
,
.
Трикутник з такими кутами може існувати.
Дано |
Знайти |
Формули для обчислення шуканих елементів |
Три кути сферичного трикутника
|
Сторони трикутника
|
(3):
|
Обчислення сторони :
,
-0,3051,
0,3469,
-0,6580,
-0,2283,
-0,3051-0,2283=-0,5334,
0,9379,
0,7530,
0,7062,
-0,7553,
Обчислення сторони .
-0,3051, 0,3469, -0,6580,
0,7530,
|
Контроль обчислень
0,6554*0,9379=0,6147,
Обчислення виконано правильно, залишається лише перевірити, чи існує трикутник з такими даними.
|
,
0,2008,
0,5477,
0,9523,
0,7171,
0,7638,
.
,
0,9523*0,6455=0,6147.
Обчислення сторони .
-0,3051, 0,3469, -0,6580,
0,9523, 0,9379,
|
Контроль обчислень
Обчислення виконано правильно, залишається лише перевірити, чи існує трикутник з такими даними. (Перевірку виконати самостійно) |
-0,1058,
-0,7638,
0,8932,
-0,8551,
.
,
0,5185*0,9379=0,4863,
0,7530*0,6455=0,4861,
Відповідь:
,
,
.
в) Розв’язати сферичний трикутник у якого:
,
,
.
Перевіримо, чи існує сферичний трикутник з такими елементами.
,
,
.
Отже, з такими даними сферичний трикутник може існувати.
Дано |
Знайти |
Формули для обчислення шуканих елементів |
Гіпотенуза с і катет b
|
Катет а та кути А і В |
(8)
(1)
(4)
|
,
,
,
,
,
.Обчислення катета а.
;
;
;
,
,
Обчислення кута В:
;
,
,
,
або
,
Обчислення кута A: ;
|
Контроль обчислень (9)
.
Значить
Або
оскільки
то
Тому – сторонній розв’язок.
,
(11)
Розв’язки знайдені правильно.
|
;
;
,
,
отже
.
–
сторонній розв’язок.
,
має бути більшим
.
,
;
.
Відповідь:
,
,