- •Передмова
- •Точки і кола, дуги і кути на сфері.
- •Сферичний кут, його вимірювання та властивості. Суміжні та вертикальні кути.
- •Елементарні задачі на побудову на сфері.
- •Іv. Питання для самоконтролю:
- •V. Література
- •І. План лекції
- •Іі. Основні типи задач.
- •Ііі. Короткі теоретичні відомості.
- •1. Поняття сферичного трикутника, його елементи. Вимірювання сторін і кутів сферичного трикутника
- •Суміжні та симетричні трикутники, їх властивості
- •6. Побудова трикутника на сфері:
- •7. Довести нерівності:
- •Іv. Питання для самоконтролю.
- •Теорема синусів.
- •Співвідношення між елементами прямокутного сферичного трикутника
- •Іv. Питання для самоконтролю.
- •Література
- •І. План лекції.
- •Іі. Основні типи задач.
- •Ііі. Короткі теоретичні відомості.
- •1. Послідовність операцій при розв’язанні сферичних трикутників:
- •2. Розв’язання сферичних трикутників
- •Шість основних типів задач розв'язання прямокутних сферичних трикутників
- •4. Приклади розв’язання задач
- •Іv. Питання для самоконтролю.
- •Література
- •І. План лекції.
- •Ііі. Короткі теоретичні відомості
- •1. Визначення місця знаходження точки на земній кулі.
- •Обчислення градусної міри сторін і кута одержаного сферичного трикутника та відстані між двома пунктами
- •3. Розв’язування задач.
- •IV. Питання для самоконтролю
- •1. Небесна сфера та її елементи
- •2. А) визначення положення світила на небесній сфері у системі горизонту.
- •2 Б). Визначення положення небесних світил у екваторіальній системі координат
- •Задачі з астрономії та їх розв’язування
- •IV. Питання для самоконтролю.
- •V. Література
- •2. Зразки завдань для закріплення лекційного матеріалу:
- •4. Зразки завдань для підготовки до виконання ргр
6. Побудова трикутника на сфері:
а) за трьома сторонами; б) за трьома кутами
а). Побудувати на сфері трикутник за трьома сторонами та , якщо , .
Розв'язання.
Перевіримо, чи існує сферичний трикутник з такими сторонами. Відомо, що для існування сферичного трикутника повинні виконуватись наступні умови:
а) , ;
б) , ;
в) , ;
г) . .
Умови а-г виконані, значить сферичний трикутник може існувати..
Хід побудови.
1. Вибираємо довільний радіус сфери.
2. Будуємо коло, що відповідає колу великого круга на сфері (рис.7а).
Нехай О1 А1 = R
а) б)
Рис. 7
3. Від радіуса О1 А1 відкладаємо центральні кути , , та з'єднуємо між собою хордами точки та , та , С1 та D1.
4. Будуємо сферу радіуса . (рис. 7б)
5. Вимірявши циркулем хорду дуги с (рис. 7а), відмітимо на сфері дві точки та , відстань між якими . (Дуга великого кола дорівнює дузі с, так як рівним хордам одного й того ж кола відповідають рівні центральні кути).
6. Опишемо на сфері радіусом коло з центром в т. та радіусом - коло з центром в т. . - точка перетину цих кіл.
7. Будуємо полюси S,T,F відповідно дуг АВ, АС, ВС .
8. На сфері будуємо дуги великих кіл, що проходять через точки А та В, А та С, В та С . Одержимо сферичний трикутник АВС.
б). Побудувати сферичний трикутник за трьома кутами А, В та С.
План побудови.
1 Перевірити, чи існує сферичний трикутник з такими кутами.
2. Обчислити сторони , , трикутника , полярного до трикутника .
3. Побудувати трикутник за трьома сторонами , , .
4. Побудувати полюси дуг А1В1, А1С1, В1С1. Це будуть точки С, В та А – вершини шуканого трикутника..
5. Побудувати дуги великих кіл, які проходять через точки ; ; . Трикутник шуканий.
7. Довести нерівності:
а) ; б) .
Іv. Питання для самоконтролю.
Назвати поняття, які були введені в лекції. Дати їх визначення.
2. Що називається сферичним трикутником?
3. Що є мірою кутів (сторін) сферичного трикутника?
4. Користуючись зображенням на сфері трьох великих кіл (рис.5), назвати:
а) суміжні сферичні трикутники;
б) симетричні сферичні трикутники;
в) сферичний перпендикуляр до дуги, яку називає викладач;
г) чи є серед сферичних трикутників, зображених на сфері, прямокутні?
5. Сформулювати властивості кутів і сторін суміжних та симетричних трикутників.
6. Сформулювати умови існування косокутних ( прямокутних) сферичних трикутників?
7. Що можна сказати про величину третьої сторони сферичного трикутника, якщо а=1300, b=1000 ?
8. Які сферичні трикутники називають взаємно полярними?
9. Записати співвідношення між сторонами і кутами взаємно полярних трикутників.
10. Трикутники та --взаємно полярні. Знайти: а) сторони трикутника , якщо , , ;
б) сферичний надлишок.
11. Довести, що .
12. Записати формулу для обчислення площі сферичного трикутника.
13. Обчислити площу сферичного трикутника АВС, якщо: а) А=1320, В=740, С=1000 ; б) .
14. Сформулювати план побудови трикутника на сфері: а) за трьома сторонами; б) за трьома кутами.
V. Література.
Андронов И.К., Окунев А.К., Курс тригонометрии « Пособие для учителей» - М: Просвещения , 1967,– 648 с., (488-494 с.).
Волынский Б.А. Сферическая тригонометрия – М.Наука 1977,– 136 с.,
(25-34 с.).
Кранц П., Сферическая тригонометрия – М. 2007,– 93 с. (10-15, 79-81 с.).
Лекції 4-5. Тема: Основні формули сферичної тригонометрії
І. План лекції.
1. Теорема синусів.
2. Теореми косинусів сторін сферичного трикутника.
3. Теореми косинусів кутів сферичного трикутника.
4. Наслідки з теорем синусів та косинусів.
ІІ. Основні типи задач
Розпізнавати записані співвідношення між елементами сферичного трикутника.
Читати (змістовно) записану тотожність.
Формулювати критерії застосування кожної тотожності.
Одержувати з однієї тотожності дві інші за допомогою кругової перестановки букв.
ІІІ. Короткі теоретичні відомості.