1. Теорема синусів.

Виведемо залежності між сторонами і кутами сферичного трикутника. На сфері з центром в точці О візьмемо сферичний трикутник АВС (рис. 8) зі сторонами а, b, c. З’єднаємо вершини сферичного трикутника А, В і С з центром сфери О радіусами ОА=ОВ=ОС=R. Опустимо з вершини С сферичного трикутника перпендикуляр СЕ на площину АОВ. У площині АОВ з точки Е проведемо ED АО і ЕК ОВ, DM || ЕК і EN || КМ. Одержимо шість прямокутних трикутників: СОК, COD, DOM, EDN, ECK, ECD.

Центральні кути СОК, COD i КOD чисельно дорівнюють відповідним їм дугам a, b i c. Кут А сферичного трикутника АВС дорівнює двогранному куту CDE. Аналогічно,  В =  СКЕ. Використовуючи співвідношення між сторонами і кутами плоских прямокутних трикутників можна одержати співвідношення між сторонами і кутами сферичного трикутника.

Рис. 8

Δ ЕСК і Δ ОСК: ЕС = СК sin B = R sin a sin B,

Δ ECD і Δ ОСD: EC = CD sin A = R sin b sin A.

Прирівнюючи між собою праві частини цих рівностей, одержимо першу формулу групи (1). Останні дві формули записують по аналогії.

(1)

Формули групи (1) називають формулами синусів записують:

– і читають так – синуси сторін сферичного трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

2. Теореми косинусів сторін. Запишемо очевидну рівність: ОК = ОМ + МК. Виразимо відрізки ОК, ОМ і МК через тригонометричні функції кутів і сторін плоских трикутників: КОС, MOD, DOC, NDE і ECD, а саме

Δ ОКС: ОК = R cosа, Δ OMD, Δ COD: OM=OD cos c = R cos b cos c,

Δ NED, ΔCOD, ΔCDE:

MK = NE = ED sin c = CD cos A sin c = R sin b sin c cos A

Підставимо замість ОК, ОМ і МК їх значення. Одержимо першу формулу групи (2). Останні дві формули записують по аналогії.

(2)

Формули (2) іноді називають формулами косинусів сторін і читають так: у будь-якому сферичному трикутнику косинус сторони дорівнює добутку косинусів двох інших сторін доданого до добутку синусів тих же сторін, помноженого на косинус кута між ними.

3. Теореми косинусів кутів. Застосуємо формули групи (2) до трикутника, полярного даному.

Одержимо формули групи (3), які називають формулами косинусів кутів.

(3)

Тобто, у будь-якому сферичному трикутнику косинус кута дорівнює добутку косинусів двох інших кутів, взятому зі знаком « - », доданого до добутку синусів цих же кутів, помноженого на косинус сторони між ними.

4. Наслідки з теорем синусів та косинусів. Запишемо ще одну очевидну рівність: MN=MD-ND.

Оскільки, MN=KE=KC cosB=R sinа cosB,

MD=OD sinc=R cosb sinc,

ND=ED cosc=DC cosA cosc=R sinb cosc cosA.

Замість MN, MD і ND підставимо їх значення. Одержимо

(4)

Скориставшись правилом кругової заміни, одержимо формули групи (4’)

(4’)

Одержані рівності читають так: у будь-якому сферичному трикутнику добуток синуса сторони на косинус прилеглого кута дорівнює добутку косинуса на синус двох інших сторін мінус добуток синуса на косинус цих же сторін, помноженого на косинус кута між ними.

На основі властивостей взаємно полярних трикутників, , одержимо групу формул (5)

(5)

Якщо формулу з групи (4) поділити почленно на формулу групи (1), у лівій частині якої ті самі елементи, то одержимо формулу котангенсів, що містить дві сторони і два кути.

(6)

Формули групи (6) називають формулами котангенсів. Вони містять дві сторони і два кути, тому їх називають формулами чотирьох елементів.

Перетворимо одержані формули для прямокутних сферичних трикутників

Якщо, в групах формул (1)-(6) прийняти один із кутів, наприклад С, рівним 90⁰, то формули матимуть вигляд:

для групи (1)

, .

(7)

для групи (2)

, ,

. (8)

для групи (3) , , .

(9)

для груп (4) і (4’) , , .

(10)

для групи (5) , , . Одержимо дві нові формули.

(11)

Група (6) нових формул не дає.

Для запам’ятовування формул прямокутного сферичного трикутника існує правило Непера.

Рис. 9	Розглянемо прямокутний сферичний трикутник ( ). Кожен катет ( та ) замінимо їх доповненнями до ( та ). Прямий кут С не будемо приймати до уваги. Кожен з елементів (с, А, В, , ) має два прилеглі до нього елементи і два не прилеглі елементи.
Тоді, косинус кожного елемента дорівнює добутку котангенсів прилеглих до нього елементів і добутку синусів не прилеглих елементів.

№ п/п	Елементи сферичного трикутника	Прилеглі елементи	Не прилеглі елементи
1	с	А, В	,
2	А	с,	В,
3	В	с,	А,
4		В,	с, А
5		А,	с , В