Елементарні задачі на побудову на сфері.
Задача 1.Знаючи радіус сфери, побудувати полюс великого кола, накресленого на сфері.
Хід побудови
Будуємо сферичний радіус. (Будуємо прямокутний рівнобедрений трикутник, катети якого дорівнюють радіусу сфери. Його гіпотенуза є сферичним радіусом великого кола (рис 3а))
Вибираємо на заданому великому колі дві довільні точки А і В. З цих точок, як із центрів, робимо засічки, радіусом, що дорівнює сферичному радіусу CD. Точки перетину цих засічок (рис. 3б) і будуть полюсами великого кола. (полюс S знаходиться на невидимій стороні сфери).
а) б)
Рис. 3
Задача 2. Знаючи радіус сфери, побудувати на сфері дугу великого кола, що проходить через дві задані точки К та В.
Хід побудови
Будуємо сферичний радіус. (Будуємо прямокутний рівнобедрений трикутник, катети якого дорівнюють радіусу сфери. Його гіпотенуза CD є сферичним радіусом великого кола (рис 4а)).
З даних точок К та В, як із центрів, радіусом, рівним сферичному радіусу CD, робимо засічки. Точка їх перетину Т (S) і буде полюсом великого кола, якому належать точки К та В (точка S знаходиться на невидимій стороні сфери).
З точки Т як із центра проводимо коло, радіус якого дорівнює сферичному радіусу CD. Дуга цього кола, що проходить через точки К та В буде шуканою.(рис. 4б)
а)
б)
Рис. 4
Іv. Питання для самоконтролю:
1. Що відіграє на сфері роль прямої на площині?
2. Що є найкоротшою відстанню між двома точками сфери, які не є кінцями одного діаметра?
3. Записати формулу для обчислення довжини меншої дуги великого кола, яку визначають дві точки на сфері.
4. Користуючись зображенням на сфері, (рис.2а), назвати сферичні двокутники, сферичні кути та відповідні їм двогранні кути.
5. Сформулювати властивості вертикальних та суміжних сферичних кутів (рис 1б).
6. Користуючись рис.1а, назвати: а) великі (малі) кола; б) поляру точки N (S); в) відстань від точки N (S) до поляри.
7. Користуючись рис.1б, назвати вертикальні (суміжні) кути.
8. Записати формулу для обчислення площі сферичних двокутників:
а) NТSСN; б) NАSТN (рис.1а)
9. Сформулювати алгоритм побудови на сфері даного радіуса: а) полюса заданого великого кола; б) дуги великого кола, що проходить через дві точки, задані на поверхні сфери.
V. Література
Андронов И.К., Окунев А.К., Курс тригонометрии „ Пособие для учителей ”- М: Просвещение , 1967 – 648 с., (483-488 с.)
Волынский Б.А. Сферическая тригонометрия – М.Наука 1977,– 136 с.,
(11-24 с.).
Кранц П., Сферическая тригонометрия – М. 2007,– 93 с., (7-10 с.)
Лекції 2-3. Тема: Сферичний трикутник