1. Точки і кола, дуги і кути на сфері.

Сферична тригонометрія є розділ сферичної геометрії, в якому вивчають метричні властивості сферичних трикутників та методи їх розв’язання.

Будь-яка площина перетинає сферу по колу. Площина, яка проходить через центр сфери радіуса R перетинає її поверхню по великому колу, радіус якого дорівнює радіусу сфери.

Якщо січна площина не проходить через центр сфери, то вона перетинає поверхню сфери по малому колу (МКР), радіус якого О₁М = r менший радіуса сфери ОТ= R (Рис. 1а).

Перетин двох площин, які проходять через центр сфери, співпадає з діаметром цієї сфери. Значить, два великі кола сфери перетинаються у двох діаметрально протилежних точках. Через будь-які дві точки на сфері, які не є кінцями одного діаметра, можна провести тільки одне велике коло. Дуга великого кола, що менша 180⁰, є найкоротшою відстанню на сфері між двома точками.

Пряма, що проходить через центр сфери перпендикулярно до площини великого кола, наприклад ABCD (рис.1а), перетинає поверхню сфери у двох діаметрально протилежних точках N і S, які називають полюсами даного великого кола. Обидва полюси знаходяться на однакових кутових відстанях від усіх точок великого кола АВСD, яке називається їх полярою або екватором.

. Дуга великого кола, яка проходить через полюс іншого великого кола, перпендикулярна до цього великого кола, тобто ﮞ NT ﮞ СТ (рис. 1а).

Дві дуги ВВ₁ і СС₁ великих кіл, що перетинаються на сфері в точці А, утворюють чотири сферичні кути: ВАС, ВАС₁, САВ_1, В₁АС₁ (рис. 1б).

а) б)

Рис. 1

2. Сферичний кут, його вимірювання та властивості. Суміжні та вертикальні кути.

Два сферичні кути називаються вертикальними, якщо сторони одного з них є продовженням дуг, що є сторонами другого сферичного кута. Наприклад, на рис 1б) вертикальними є кути ВАС і В₁АС₁; САВ₁ і С₁АВ. Вертикальні сферичні кути мають рівні міри.

Два сферичні кути називають суміжними, якщо вони мають спільну вершину і одну спільну сторону, а дві інші сторони є дугами одного великого кола. Наприклад, на рис 1б) суміжними є кути САВ₁ та В_!АС₁ ; ВАС₁ та С₁АВ_1.

Сума суміжних кутів дорівнює 180⁰.

Площини великих кіл, що перетинаються по прямій, якій належить діаметр NS сфери, утворюють двогранні кути з ребром NS (рис 1а). Наприклад NСSТN; NАSТN.

Сферичний кут CNT і відповідний йому двогранний кут NCSTN мають одну й ту ж міру, що дорівнює лінійному куту COT даного двогранного кута.

3. Сферичний двокутник. Площа двокутника. Довжина дуги. Сферичним двокутником називається частина поверхні сфери,обмежена площинами двох великих півкіл, які перетинаються на кінцях одного й того ж діаметра.

Два великі кола поділяють поверхню сфери на чотири двокутники (рис 2а). Точки А і А₁ перетину кіл є вершинами двокутника, а дуги, на які вершини поділяють великі кола - його сторонами.

Сферичні кути МАK і MA₁K (рис. 2а) є кутами сферичного двокутника. Для позначення сферичного двокутника вибирають, крім вершин, по одній точці на сторонах. Записують АКА₁MA; AMA₁NA.

Кут сферичного двокутника вимірюється дугою α поляри (дуги великого кола, перпендикулярного до осі), яка менша 180⁰ і обмежена сторонами сферичного двокутника. Кут МАК = ﮞ СТ = α (рис. 2б).

а) б)

Рис. 2

Таблиця 1

Аналогії між поняттями
на площині	на сфері
Пряма лінія	Дуга великого кола на сфері.
Через дві точки площини проходить пряма і тільки одна	Через дві точки сфери, які не є кінцями одного діаметра, проходить тільки одна дуга великого кола.
Відрізок прямої є найкоротшою відстанню між двома точками площини.	Дуга великого кола, менша 1800, є найкоротшою відстанню між двома точками сфери.
Дві прямі перетинаються тільки в одній точці	Дві дуги великих кіл, менші 1800, перетинаються в одній точці на сфері.

Площа сферичного двокутника.

, де радіус сфери, сферичний кут в радіанах (рис.2б).

Довжину L дуги СТ (рис.1а) обчислюють за формулою ,де – радіанна міра дуги СТ, а – її градусна міра , R – радіус кола