Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ОСТАННЙ ВАРІАНТ метод рек Сфера 2011.doc
Скачиваний:
18
Добавлен:
22.08.2019
Размер:
8.45 Mб
Скачать

Шість основних типів задач розв'язання прямокутних сферичних трикутників

Дано

Знайти

Формули для обчислення шуканих елементів

  1. Два катети

Гіпотенузу

кути

(2):

(8):

звідки

(6): тоді

(6): звідки

тоді

2. Гіпотенуза і катет

Катет

кути

(8):

З (7): , тоді

З (4):

Тоді

3. Гіпотенуза

і прилеглий кут

Катети

кут

З (10):

З (7):

З (3):

4. Катет та протилежний кут

Катет

гіпотенузу

кут

(6): звідки

З (7):

З (3):

тоді

5. Катет та прилеглий кут

Катет

гіпотенузу

кут

(6): звідки

,

З (10): ,

З (10): ,

З (9)

6. Дано два кути та прилеглі до гіпотенузи

Катети

гіпотенузу

З (9):

З (9):

З (9):

4. Приклади розв’язання задач

а) Розв’язати сферичний трикутник, у якого:

а = 790331 , b = 650281, с = 370531

Розв’язання

Перевіримо, чи існує трикутник з такими сторонами.

00 < а = 790331 < 1800, 00 < b = 650281 < 1800, 00 < c = 370531 < 1800,

a+b = 790331 + 650281 = 1450011 > c = 370531,

a+c = 790331 + 370531 = 1170261 > b = 650281,

b+c = 650281 + 370531 = 1030211 > a = 790331.

Трикутник з такими сторонами може існувати.

Дано

Знайти

Формули для обчислення шуканих елементів

1. Три сторони

Кути

(2):

Обчислення кута А.

cosa = cosb cosc + sinb sinc cosA, ,

cosa = cos790331 = 0,1814,

cosb = cos650281 = 0,4152,

cosc = cos370531 = 0,7893,

cosb cosc =0,4152*0,7893= 0,3277,

sinb = sin 650281 = 0,9097,

sinc = sin 370531 = 0,6141,

sinb sinc = 0,9097*0,6141=0,5586,

cosa – cosb cosc= 0,1814 - 0,3277= - 0,1463,

= =-0,2619,

A=arccos(-0,2619)=1800-arccos 0,2619=1050101.

Обчислення кута В.

,

0,4152,

0,1814,

0,7893,

0,1432,

0,272,

0,9834,

0,6141,

0,6039,

,

,

Контроль обчислень

, звідки

,

0,9834*0,8928=0,8780,

0,9097*0,9652=0,8781,

Обчислення виконано правильно, залишається лише перевірити, чи існує трикутник з такими даними.

Обчислення кута С

,

0,4152,

0,1814,

0,7893,

0,0753,

0,714,

0,9834,

0,9097

0,8946,

,

.

Контроль обчислень

, звідки

,

0,9834*0,6025=0,5925,

0,6141*0,9652=0,5927,

Обчислення виконано правильно, залишається лише перевірити, чи існує трикутник з такими даними.

(Перевірку виконати самостійно)

Відповідь: , ,

б) Розв’язати сферичний трикутник, у якого , , .

Розв’язання.

Перевіримо, чи існує сферичний трикутник з такими кутами:

, ,

,

,

,

,

.

Трикутник з такими кутами може існувати.

Дано

Знайти

Формули для обчислення шуканих елементів

Три кути сферичного трикутника

Сторони трикутника

(3):

Обчислення сторони :

, -0,3051,

0,3469, -0,6580,

-0,2283, -0,3051-0,2283=-0,5334,

0,9379, 0,7530,

0,7062, -0,7553,

Обчислення сторони .

,

-0,3051,

0,3469,

-0,6580,

0,2008,

0,5477,

0,9523,

0,7530,

0,7171,

0,7638,

.

Контроль обчислень

,

0,6554*0,9379=0,6147,

0,9523*0,6455=0,6147.

Обчислення виконано правильно, залишається лише перевірити, чи існує трикутник з такими даними.

Обчислення сторони .

-0,3051,

0,3469,

-0,6580,

-0,1058,

-0,7638,

0,9523,

0,9379,

0,8932,

-0,8551,

.

Контроль обчислень

,

0,5185*0,9379=0,4863,

0,7530*0,6455=0,4861,

Обчислення виконано правильно, залишається лише перевірити, чи існує трикутник з такими даними.

(Перевірку виконати самостійно)

Відповідь: , , .

в) Розв’язати сферичний трикутник у якого:

, , .

Перевіримо, чи існує сферичний трикутник з такими елементами.

, , .

Отже, з такими даними сферичний трикутник може існувати.

Дано

Знайти

Формули для обчислення шуканих елементів

Гіпотенуза с і катет b

Катет а та кути А і В

(8) ,

,

(1) ,

,

(4) ,

.

Обчислення катета а.

;

;

;

,

,

Обчислення кута В:

;

,

,

,

або ,

Обчислення кута A:

;

;

;

Контроль обчислень

(9) ,

, отже

.

.

Значить – сторонній розв’язок.

Або оскільки ,

то має бути більшим .

Тому – сторонній розв’язок.

, (11)

,

;

.

Розв’язки знайдені правильно.

Відповідь: , ,