- •Передмова
- •Точки і кола, дуги і кути на сфері.
- •Сферичний кут, його вимірювання та властивості. Суміжні та вертикальні кути.
- •Елементарні задачі на побудову на сфері.
- •Іv. Питання для самоконтролю:
- •V. Література
- •І. План лекції
- •Іі. Основні типи задач.
- •Ііі. Короткі теоретичні відомості.
- •1. Поняття сферичного трикутника, його елементи. Вимірювання сторін і кутів сферичного трикутника
- •Суміжні та симетричні трикутники, їх властивості
- •6. Побудова трикутника на сфері:
- •7. Довести нерівності:
- •Іv. Питання для самоконтролю.
- •Теорема синусів.
- •Співвідношення між елементами прямокутного сферичного трикутника
- •Іv. Питання для самоконтролю.
- •Література
- •І. План лекції.
- •Іі. Основні типи задач.
- •Ііі. Короткі теоретичні відомості.
- •1. Послідовність операцій при розв’язанні сферичних трикутників:
- •2. Розв’язання сферичних трикутників
- •Шість основних типів задач розв'язання прямокутних сферичних трикутників
- •4. Приклади розв’язання задач
- •Іv. Питання для самоконтролю.
- •Література
- •І. План лекції.
- •Ііі. Короткі теоретичні відомості
- •1. Визначення місця знаходження точки на земній кулі.
- •Обчислення градусної міри сторін і кута одержаного сферичного трикутника та відстані між двома пунктами
- •3. Розв’язування задач.
- •IV. Питання для самоконтролю
- •1. Небесна сфера та її елементи
- •2. А) визначення положення світила на небесній сфері у системі горизонту.
- •2 Б). Визначення положення небесних світил у екваторіальній системі координат
- •Задачі з астрономії та їх розв’язування
- •IV. Питання для самоконтролю.
- •V. Література
- •2. Зразки завдань для закріплення лекційного матеріалу:
- •4. Зразки завдань для підготовки до виконання ргр
Шість основних типів задач розв'язання прямокутних сферичних трикутників
Дано |
Знайти |
Формули для обчислення шуканих елементів |
|
Гіпотенузу
кути
|
(2): (8): звідки (6): тоді (6): звідки тоді
|
2. Гіпотенуза і катет
|
Катет кути
|
(8): З (7): , тоді
З (4): Тоді
|
3. Гіпотенуза і прилеглий кут
|
Катети
кут |
З (10): З (7): З (3): |
4. Катет та протилежний кут
|
Катет гіпотенузу кут |
(6): звідки
З (7): З (3): тоді
|
5. Катет та прилеглий кут
|
Катет гіпотенузу кут |
(6): звідки , З (10): , З (10): , З (9)
|
6. Дано два кути та прилеглі до гіпотенузи
|
Катети
гіпотенузу |
З (9): З (9): З (9): |
4. Приклади розв’язання задач
а) Розв’язати сферичний трикутник, у якого:
а = 790331 , b = 650281, с = 370531
Розв’язання
Перевіримо, чи існує трикутник з такими сторонами.
00 < а = 790331 < 1800, 00 < b = 650281 < 1800, 00 < c = 370531 < 1800,
a+b = 790331 + 650281 = 1450011 > c = 370531,
a+c = 790331 + 370531 = 1170261 > b = 650281,
b+c = 650281 + 370531 = 1030211 > a = 790331.
Трикутник з такими сторонами може існувати.
Дано |
Знайти |
Формули для обчислення шуканих елементів |
1. Три сторони
|
Кути
|
(2):
|
Обчислення кута А.
cosa = cosb cosc + sinb sinc cosA, ,
cosa = cos790331 = 0,1814,
cosb = cos650281 = 0,4152,
cosc = cos370531 = 0,7893,
cosb cosc =0,4152*0,7893= 0,3277,
sinb = sin 650281 = 0,9097,
sinc = sin 370531 = 0,6141,
sinb sinc = 0,9097*0,6141=0,5586,
cosa – cosb cosc= 0,1814 - 0,3277= - 0,1463,
= =-0,2619,
A=arccos(-0,2619)=1800-arccos 0,2619=1050101.
Обчислення кута В.
, 0,4152, 0,1814, 0,7893, 0,1432, 0,272, 0,9834, 0,6141, 0,6039, , , |
Контроль обчислень , звідки , 0,9834*0,8928=0,8780, 0,9097*0,9652=0,8781,
Обчислення виконано правильно, залишається лише перевірити, чи існує трикутник з такими даними.
|
Обчислення кута С
, 0,4152, 0,1814, 0,7893, 0,0753, 0,714, 0,9834, 0,9097 0,8946, , . |
Контроль обчислень , звідки , 0,9834*0,6025=0,5925, 0,6141*0,9652=0,5927,
Обчислення виконано правильно, залишається лише перевірити, чи існує трикутник з такими даними. (Перевірку виконати самостійно) |
Відповідь: , ,
б) Розв’язати сферичний трикутник, у якого , , .
Розв’язання.
Перевіримо, чи існує сферичний трикутник з такими кутами:
, ,
,
,
,
,
.
Трикутник з такими кутами може існувати.
Дано |
Знайти |
Формули для обчислення шуканих елементів |
Три кути сферичного трикутника
|
Сторони трикутника
|
(3):
|
Обчислення сторони :
, -0,3051,
0,3469, -0,6580,
-0,2283, -0,3051-0,2283=-0,5334,
0,9379, 0,7530,
0,7062, -0,7553,
Обчислення сторони .
, -0,3051, 0,3469, -0,6580, 0,2008, 0,5477, 0,9523, 0,7530, 0,7171, 0,7638, . |
Контроль обчислень
, 0,6554*0,9379=0,6147, 0,9523*0,6455=0,6147.
Обчислення виконано правильно, залишається лише перевірити, чи існує трикутник з такими даними.
|
Обчислення сторони .
-0,3051, 0,3469, -0,6580, -0,1058, -0,7638, 0,9523, 0,9379, 0,8932, -0,8551, .
|
Контроль обчислень
, 0,5185*0,9379=0,4863, 0,7530*0,6455=0,4861,
Обчислення виконано правильно, залишається лише перевірити, чи існує трикутник з такими даними. (Перевірку виконати самостійно) |
Відповідь: , , .
в) Розв’язати сферичний трикутник у якого:
, , .
Перевіримо, чи існує сферичний трикутник з такими елементами.
, , .
Отже, з такими даними сферичний трикутник може існувати.
Дано |
Знайти |
Формули для обчислення шуканих елементів |
Гіпотенуза с і катет b
|
Катет а та кути А і В |
(8) , , (1) , , (4) , . |
Обчислення катета а.
;
;
;
,
,
Обчислення кута В:
;
,
,
,
або ,
Обчислення кута A: ; ; ;
|
Контроль обчислень (9) ,
, отже . . Значить – сторонній розв’язок. Або оскільки , то має бути більшим . Тому – сторонній розв’язок. , (11) , ; . Розв’язки знайдені правильно.
|
Відповідь: , ,