Тема 3. Теория принятия оптимальных решений

1. Принятие решений в условиях полной определенности

2. Принятие решений в условиях неопределенности и риска

1. Принятие решений в условиях полной определенности

Математические модели социально-экономических процессов могут быть представлены в виде таблиц, элементами которых являются значения частных критериев эффективности функционирования систем. Они вычисляется для каждой стратегии при строго заданных внешних условиях (полная определенность). Для таких условий приятие решений производится, во-первых, по одному критерию, а во-вторых, по наибольшему значению этого критерия.

При этом используется аддитивный критерий оптимальности (обобщенная функция цели), который определяется по формуле:

(3.1)

, ( 3.2)

где

a_ij – значение частного (локального) критерия;

- вес (важность) j –го частного критерия.

Аддитивный критерий оптимальности используется для свертывания частных (локальных) критериев, если они количественно соизмеримы (имеют одинаковые единицы измерения). Если же частные критерии неоднородны, то проводят процедуру их нормализации.

Нормализация - последовательность процедур, с помощью все критерии приводятся к единому масштабу измерения. В процессе нормализации выполняют следующие действия:

1. Определяют max каждого локального метода.

max a_ij (3.3)

2. В соответствии с критерием max эффективности пересчитываются значение частных критериев:

â_ij = (3.4)

â_ij = 1- (3.5)

Формула (3.4) используется для критериев, которые необходимо максимизировать, а формула (3.5) - для критериев, которые минимизируют.

2. Принятие решений в условиях неопределенности и риска

В условиях неопределенности (недостатка информации) внешняя среда («природа») может находиться в одном из множества конечных состояний. Поэтому принятие решений в условиях неопределенности часто называют «игры с природой».

Пусть S_i – состояние природы, которое меняется m раз (от 1 до m). Все состояния известны. Неизвестно только какое состояние будет иметь место в условиях, когда планируется реализация управленческого решения. Будем считать, что множество управленческих решений (планов) R_j – конечно и равняется n.

Реализация плана R_j когда природа находится в состоянии S_i приводит к одному из следственных результатов:

1. Выигрышу от принимаемого решения (плана);

2. Потерям;

3. Риску.

Исходные данные для таких задач задаются в виде матрицы, строки которой соответствуют управленческим решением R_j, а столбцы - состояниям природы S_i . V_ij – результат решения (выигрыш или потеря). В качестве результатов в отдельных задачах используется матрица рисков.

Риск – это мера несоответствия между разными возможными результатами от принятия решений. Если элементами исходной матрицы являются выигрыши (V_ij), то они связаны с элементами матрицы рисков следующим соотношением:

r_ij = max {V_ij} - V_ij , (3.6)

где r_ij – элемент матрицы рисков;

V_ij – элемент матрицы выигрышей.

Если матрица результатов V_ij представляет собой матрицу потерь, то элементы матрицы рисков r_ij рассчитывается следующим образом:

r_ij = V_ij - min {V_ij} , (3.7)

где V_ij – элемент матрицы потерь.

Для принятия решений в условиях неопределенности используют критерии Лапласа, Вальда, Севиджа и Гурвица.

Критерий Лапласа предполагает все состояния природы равновероятными, т.е. каждому состоянию S_i ставится в соответствии вероятность q_i, определяемая по формуле:

, (3.8)

где n - количество состояний природы S_i

При этом для матрицы выигрышей выбирается действие, дающее наибольший ожидаемый выигрыш:

, (3.9)

где W – значение критерия Лапласа.

Если в условии задачи дана матрица потерь или рисков, то оптимальную стратегию выбирают по минимальному значению данного критерия.

Критерий Вальда. Если в исходной матрице каждый элемент V_ij представляет собой потери, то при выборе оптимальной стратегии используют минимаксный критерий Вальда:

(3.10)

В том случае, если элементами матрицы выигрышей, то используется максиминный критерий Вальда:

(3.11)

Критерий Севиджа. Используется только для матрицы рисков, поэтому если даны матрицы выигрышей или потерь, то их необходимо пересчитать в матрицу рисков по формулам (3.6) или (3.7) соответственно.

Критерий Гурвица. Если исходной является матрица выигрышей, то значение данного критерия вычисляется по формуле:

(3.12)

Критерий Гурвица позволяет установить баланс между случаями крайнего пессимизма и оптимизма с помощью коэффициента доверия ɣ. Значение ɣ определяется в зависимости от склонности лица принимающего решение к пессимизму или оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности ɣ берется равным 0,5.

Если подставить значение ɣ=1 в формулу (4.12), то приходим к правилу «здорового оптимиста»:

(3.13)

Для матрицы потерь значение критерия Гурвица рассчитывается следующим образом:

(3.14)

Если в данное выражение поставить значение ɣ=0, то получим минимаксный критерий Вальда (3.10).

В целом выбор критерия принятия решений в условиях неопределенности и риска делает лицо, принимающее решение (ЛПР), в соответствии со спецификой задачи, поставленными целями, опираясь на опыт и интуицию. Если ЛПР ожидает в будущем наступление очень благоприятной ситуации, то возможен выбор критерия «здорового оптимиста»; если благоприятной - критерия Гурвица при ɣ≥0,5; если неблагоприятной, то критерия Вальда или Гурвица ɣ<0,5, а для условий риска критерий Севиджа. Если ситуация полностью не определена, то можно использовать то критерий Лапласа или Гурвица при ɣ=0,5. Однако если все критерии указывают на одну и ту же стратегию, то выбор является во всех отношениях оптимальным.