3. Методические указания для студентов к практическим занятиям и самостоятельной работе

Тема 2. Основы линейного программирования

Цель практического занятия №1: Научиться составлять экономико-математические модели задач линейного программирования.

Вопросы по лекционному курсу:

1. Что изучает математическое программирование?

2. Как формулируется в общем виде математическая постановка экстремальной задачи?

3. Охарактеризуйте виды математического программирования.

4. Приведите экономико-математическую формулировку и модель общей задачи линейного программирования.

5. Дайте определение стандартной и канонической задачи линейного программирования.

6. Что такое допустимое решение (план), оптимальный план задачи линейного программирования?

7. Опишите последовательность составления экономико-математические модели задач линейного программирования

8. Как преобразовать ограничение-неравенство исходной задачи линейного програм­мирования в ограничение-равенство?

Методические указания к практическому занятию

Приемы построения экономико-математических моделей одноиндексных задач ЛП:

1. Запись условий при неизменяющихся объемах производственных ресурсов и неизменяющихся технико-экономических коэффициентах.

Пример 2.2. Фирма производит два вида красок: первый - для наружных, а второй - для внутренних работ. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два ингредиента - А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Расходы А и В на 1 т соответствующих красок приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Исходные данные

Ингредиенты	Расход ингредиентов в тоннах на тонну краски		Максимально возможный запас, т
	краска 1-го вида	краска 2-го вида
А	1	2	6
В	2	1	8

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1-го вида более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску 1-го вида никогда не превышает 2 т в сутки.

Оптовые цены одной тонны красок равны: 3 тыс.руб. для краски 1-го вида; 2 тыс.руб. для краски 2-го вида.

Необходимо построить математическую модель задачи, позволяющую установить какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы выручка от реализации продукции была максимальной.

Решение:

Прежде чем построить математическую модель задачи, т.е. записать ее в виде математических символов, необходимо четко разобраться с коммерческой ситуацией, описанной в условии, ответив на следующие вопросы:

1. Что является искомыми величинами задачи?

1. Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, например, прибыль, доход, себестоимость, время и т.д. В каком направлении должно изменяться значение критерия оптимальности к max или к min для достижения наилучших результатов?

1. Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены?

Только после ответа на все эти вопросы можно приступать к записи математической модели.

Поскольку в задаче требуется определить объемы производства каждого вида красок, то эти объемы и будут являться переменными модели, а именно:

Переменные:

x₁ – суточный объем производства краски для наружных работ, т

x₂ – суточный объем производства краски для внутренних работ, т.

Целевая функция:

В условии задачи сформулирована цель - добиться максимального дохода от реализации продукции. Суточная выручка от продажи краски 1-го вида равен  тыс.руб, а от продажи краски 2-го вида -   тыс.руб. Поэтому целевой функцией (ЦФ) будет математическое выражение, в котором суммируется доход от продажи красок 1-го и 2-го видов (при допущении независимости объемов сбыта каждой из красок)

Ограничения, налагаемые на возможные объемы производства красок, т.е. на переменные и , обуславливаются:

- количеством расходуемых ингредиентов A и B;

- данными о спросе на каждый вид краски.

Ограничения на расход содержательно можно записать в виде

,

а математически - в виде

.

При математической записи ограничений следует всегда проверять размерность левой и правой части каждого из ограничений, несовпадение этих размерностей свидетельствует о принципиальной ошибке.

Ограничения на расход содержательно можно записать в виде

и

,

а математически это выглядит как

.

Таким образом, ограничения этой задачи запишутся так

Ограничения:

1. По запасам ингредиента А, т х₁ + 2х₂ 6

2. По запасам ингредиента В, т 2х₁ + х₂ 8

3. По соотношению объемов спроса на краску, т -х₁ + х₂ 1

4. По спросу на краску для внутренних работ, т х₂ 2

5. Неотрицательность переменных

2. Запись условий с изменяющимися объемами производственных ресурсов.

2.1 Запись условий с двухсторонними объемами

Пример 2.3. Фирма производит и продает столы и шкафы из древесины хвойных и лиственных пород. Расход каждого вида в кубометрах на каждое изделие дан в таблице.

Таблица 2.2

Расход сырья на производство мебели

	Расход древесины, м3		Цена изделия, тыс. руб.
	хвойных	лиственных
Стол	0,15	0,2	0,8
Шкаф	0,3	0,1	1,5
Запасы древесины	80	40

Производство столов за определенный период времени должно быть не менее 200 шт., но и не более 350 шт., а производство шкафов не менее 250 шт. Определить оптимальное количество столов и шкафов которое следует поставлять на продажу для получения максимального дохода фирмы.

Решение:

Переменные:

х₁ – количество столов, шт.

х₂ – количество шкафов, шт.

Целевая функция:

Максимальный доход фирмы, тыс.р. f(х) = 0,8х₁ + 1,5х₂ mах

Ограничения:

1. По расходам древесины хвойных пород, м³ 0,15х₁ + 0,3х₂ 80

2. По расходам лиственных пород, м³ 0,2Х₁ + 0,1Х₂ 40

3. По производству столов минимум, шт. х₁ 200

4. По производству столов максимум, шт. х₁ 350

5. По производству шкафов минимум, шт. х2 250

2.2. Запись условий, когда имеется возможность увеличить тот или иной объем производственных ресурсов

Пример 2.4. Фирма производит 3 вида изделий. Нормативы затрат ресурсов на производство одного вида изделий в таблице.

Таблица 2.3

Нормативы затрат ресурсов на производство

Ресурсы	Плановый фонд ресурсов	Нормативы затрат ресурсов на производство одного изделия
		вида А	вида Б	вида С
Затраты труда, чел.-ч.	7000	5,2	2,7	3,5
Затраты материально денежных средств, р.	32000	125	90	100
Затраты листового материала, кг	10000	4	6	3
Прибыль от реализации, р.	-	300	280	400

Фирма может взять в банке кредит не более 15000 р. Определить, сколько изделий каждого вида следует производить, чтобы обеспечить максимальную прибыль от реализации.

Решение:

Переменные:

х₁ – количество изделий вида А, шт.

х₂ – количество изделий вида Б, шт.

х₃ – количество изделий вида С, шт.

х₄ – сумма кредита, р.

Целевая функция:

Максимальная прибыль, (руб.): f(х) = 300 х₁ + 280 х₂ + 400х₃ mах.

Ограничения:

1. По затратам труда чел-ч. 5,2х₁ +2,7х₂ + 3,5х₃ 7000

2. Так как объем материально-денежных средств может быть увеличен за счет кредита, ограничение по использованию материально-денежных средств (р.) будет записано двумя следующими ограничениями.

3. 125х₁ + 90 х₂ + 100 х₃ 32000 +х₄ или 125х₁ + 90х₂ + 100 х₃ – х₄ 32000

4. х₄ 15000

5. По использованию листового материала, кг 4х₁ + 6х₂ + 3х₃ 10 000

3 Запись условий, когда объемы производственных ресурсов не известны

Пример 2.5. Определить структуру блюд на предприятии общественного питания и необходимое количество овощей, обеспечивающую максимальный доход на основе заданных нормативов затрат продуктов на первые и вторые блюда, представленных в следующей таблице:

Таблица 2.4

Нормативы затрат ресурсов

Ресурсы	Плановый фонд ресурсов	Нормативы затрат ресурсов на 100 блюд
		1-е блюда	2-е мясные	2-е рыбные	2-е прочие
Мясо, кг	40 000	4,0	8,0	-	3,8
Рыба, кг	25 000	2,5	-	10	-
Овощи, кг	-	3,2	2,0	3,0	4,6
Доход, руб.	-	130	200	150	170

Решение:

Переменные:

х₁ – количество сотен 1^х блюд,

х₂ – количество сотен 2^х мясных блюд,

х₃ – количество сотен 2^х рыбных блюд,

х₄ – количество сотен 2^х прочих блюд

х₅ – весовое количество овощей для приготовления блюд, кг

Целевая функция:

Максимальный доход (руб.): f(х) = 130х₁ + 200х₂ + 150 х₃ + 170х₄ mах

Ограничения:

1. По использованию мяса, кг 4х₁ +8х₂ + 3,8х₄ 40 000

2. По использованию рыбы, кг 2,5х₁ +10х₃ 25 000

Так как весовое количество овощей (т) для приготовления неизвестно, ограничение запишется так:

3,2х₁ + 2х₂ + 3х₃ + 4,6 х₄ = х₅

3,2х₁ + 2х₂ + 3х₃ + 4,6 х₄ - х₅ = 0

4. Запись условий с помощью коэффициентов пропорциональности

Пример 2.6. Сформировать вариант образования бензина АИ-80 и АИ-95, который обеспечивает максимальный доход от продажи, если имеется 50 т. смеси 1-го сорта, 30 т. смеси 2-го сорта.

На изготовление 1 т бензина АИ-80 идет

60% смеси 1-го сорта и

40% смеси 2-го сорта

На изготовление 1 т бензина АИ– 95 идет

80% смеси 1-го сорта и

20% смеси 2-го сорта

Причем изготовить бензина АИ-80 70% от общего объема бензина. Реализуются 1 т бензина АИ-80 за 5000 р., а 1т. Аи-95 – за 6000 р.

Решение:

Переменные:

х₁ – объем изготовления бензина АИ-80, т

х₂ – объем изготовления бензина АИ-95, т

Целевая функция:

Максимум дохода (р.): f(х) = 5 000х₁ + 6 000х₂ mах

Ограничения:

1. По использованию смеси т

0,6х₁ + 0,8х₂ 50

0,4х₁ + 0,2х₂ 30

2. По изготовлению бензина АИ –80, т

х₂ = 0,7 (х₁ + х₂)

х₂ – 0,7х₁ - 0,7х₂ = 0

- 0,7х₁ + 0,3х₂ = 0