§2 Корневые методы оценки качества

В основе корневых методов лежит изучение влияния расположения корней характеристического уравнения в комплексной плоскости на процесс регулирования.

В общем случае переходный процесс определяется как левой, так и правой частями дифференциального уравнения системы. При рассмотрении ПФ замкнутой системы это означает, что на характер переходного процесса оказывают влияние как полюсы, так и нули ПФ.

Учет нулевой ПФ связан с определенными трудностями. Поэтому в постоянное время используют в основном методы, основанные на рассмотрении лишь полюсов ПФ-ии, то есть корней характеристического уравнения системы. При этом качество переходного процесса оценивается лишь приближенно. Среди корневых оценок качества наиболее распространенной является оценка быстроты затухания переходного процесса по степени устойчивости.

Под степенью устойчивости понимается абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня, то есть .

Ближайшим к мнимой оси может быть вещественный корень (рисунок 2а) или пара комплексно-сопряженных корней (рисунок 2б).

Рисунок 2

Корни характеристического уравнения, расположенные ближе всего к мнимой оси, дают в переходном процессе составляющие, которые затухают наиболее медленно. Поэтому приближенно можно считать, что переходный процесс закончится тогда, когда затухнет составляющая, определяемая ближайшим к мнимой оси корнем.

Случай, когда ближайшим к мнимой оси является вещественный корень, то в переходном процессе ему соответствует составляющая

За время эта составляющая уменьшится и станет равной , где - некоторая числовая характеристика, показывающая, во сколько раз уменьшится регулируемая величина за время . Отсюда можно получить приближенную зависимость между степенью устойчивости и временем переходного процесса. Действительно, из последнего выражения имеем , откуда или (1). Если принять , то составит . В том случае, когда ближайшим к мнимой оси является пара комплексно сопряженных корней , то им в переходном процессе соответствует составляющая . Полагая , найдем верную оценку для : (2).

Из выражений (1) и (2) следует, что увеличение степени устойчивости при заданном значении m соответствуют уменьшению t_p. В учебниках по ТАУ отмечается, что важным обстоятельством является то, что степень устойчивости можно определить без вычисления корней характеристического уравнения.

Является ли это действительно преимуществом, будет рассмотрено на практическом занятии.

При рассмотрении колебательного звена были введены понятия коэффициента затухания α, являющегося вещественной частью комплексных корней и степени затухания: следовательно, мерой колебательности какой-либо составляющей переходного процесса является отношение : чем оно больше, тем сильнее колебательность i-ой составляющей переходного процесса. Очевидно, что наиболее колебательной является та составляющая, у которой это отношение максимально. Соотносимая величина обозначается: и называется степенью колебательности. Геометрическая величина представляет собой tg угла φ (рис. 2(в)) образованного отрицательной вещественной полуосью и лучом из начала координат проведенного к корню у которого отношение мнимой части ω к действительной α максимально. Чем больше угол φ тем больше система склонна к колебаниям и, следовательно, степень затухания меньше: . Величины μ и η являются косвенными оценками качества переходного процесса. Рассмотрим другой корневой метод, предназначенный для синтеза САР на заданное качество переходного процесса и основанный на использовании формул Виета, позволяющих определить коэффициенты характеристического уравнения через его корни.

Пусть имеем характеристическое уравнение системы:

;

коэффициенты уравнения определяются параметрами системы, которые необходимо выбирать по условия обеспечения требуемого качества переходного процесса.

Разделив уравнение на a₀ запишем его в виде:

(3).

Коэффициенты уравнения (3) определяются по формулам Виета:

; ; … .

Если теперь, исходя из требуемого качества переходного процесса, задаться расположением корней на комплексной плоскости, т.е. действительными частями корней, определяющими длительность составляющих переходного процесса и отношением мнимых и действительных частей определяющих колебательность этих составляющих, то по формулам Виета можно найти значения коэффициентов характеристического уравнения или соотношения между ними из которых определяются искомые значения варьируемых параметров системы.

Рассмотрим теперь свободный член уравнения (3), т.к. он равен произведению всех корней, то чем больше его величина, тем, при прочих равных условиях, будут больше действительные части корней и следовательно короче переходный процесс.

Введем понятие среднегеометрического корней:

(4).

В комплексной плоскости он определяет точку на действительной оси, являющуюся геометрическим центром всех корней характеристического уравнения, т.о. Ω₀ характеризует среднюю длительность переходного процесса, т.е. является мерой длительности всего переходного процесса. Из формулы (4) видно, что величина Ω₀ зависит от свободного члена a_n исходного характеристического уравнения, который определяется коэффициентом передачи. Коэффициенты разомкнутой системы: у статических систем: ; у астатических: .

Например, возьмем инерционное звено 1-го порядка: тогда,

, .

Следовательно, повышение быстродействия системы можно осуществить за счет увеличения общего коэффициента передачи САР, но это не должно приводить к нарушению требований по закону устойчивости.

АЧХ: