3.3.2.Угловая скорость

Если за промежуток времени тело совершит поворот на угол , то средняя угловая скорость тела за этот промежуток времени равна: .

Угловая скорость в данный момент времени называется величина, к которой стремится средняя угловая скорость ω_ср, когда промежуток времени Δt→0.

, или

. (3.5)

Таким образом, угловая скорость в данный момент времени численно равна первой производной от угла поворота по времени. Знак определяется направлением вращения тела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода часовой стрелки ω>0, а когда по ходу часовой стрелки, ω<0. Размерность угловой скорости = с^-1, так как радиан – величина безразмерная.

Условимся угловую скорость изображать в виде вектора , численная величина которого равна и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки. Такой вектор определяет сразу модуль угловой скорости, ось вращения и направление вращения тела вокруг оси.

3.3.3. Угловое ускорение

Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости с течением времени. Если за промежуток угловая скорость изменилась на , то среднее угловое ускорение тела за этот промежуток времени будет численно равно .

Угловым ускорением в данный момент времени называется величина, к которой стремится значение , когда промежуток времени Δt→0, следовательно:

, или

. (3.6)

Итак, угловое ускорение тела в данный момент времени численно равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела.

Размерность углового ускорения [ε]=1/c² =с^-2

Если модуль угловой скорости с течением времени возрастает, то движение называется ускоренным, если убывает – то замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, если ω и ε имеют одинаковые знаки, и замедленным, если ω и ε имеют разные знаки.

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно изобразить вектором , направленным вдоль оси вращения. При этом направление совпадает с направлением , если движение ускоренное (рис. 3.4) и противоположно направлению , если движение замедленное (рис. 3.5)

Pис. 3.4 Рис. 3.5

Ускоренное вращение Замедленное вращение

3.3.4. Равномерное и равнопеременное вращение

Вращение тела с постоянной угловой скоростью ω = const называется равномерным.

Найдем закон равномерного вращения. При условии, что при t = 0, φ = φ_0. Из (3.5) имеем . Проинтегрировав это уравнение в пределах слева от φ до φ₀, справа от 0 до t, получим: , oткуда

. (3.7)

Выражение (3.7) является уравнением равномерного вращения тела.

Из уравнения (3.7) находим , то есть угловая скорость равномерного вращения тела равна отношению приращения угла поворота за некоторый промежуток времени к величине этого промежутка времени.

В технике угловая скорость измеряется числом оборотов в минуту и обозначается n. Так как, один оборот равен 2π рад, то зависимость между угловой скоростью [n] = об/мин и [ω] = с^-1 при φ₀ = 0 имеет вид

. (3.8)

Пример 1. Определить угловую скорость Земли вокруг ее оси, выраженной в с^-1.

Решение: .

Вращение тела при котором угловое ускорение постоянно (ε=const) во все время движения, называется равнопеременным.

Найдем закон равнопеременного вращения, если при t=0, φ=φ₀, ω=ω₀. Из (3.6) имеем: . Это уравнение проинтегрируем в пределах, соответствующих начальному моменту t₀ и произвольному моменту времени t. Получим , или

. (3.9)

Подставим полученное выражение в уравнение , тогда . Интегрируя его в соответствующих пределах, получим: , или

(3.10)

Пример 2. Вал начитает вращаться из состояния покоя. В первые 10 с он совершает 200 оборотов. Каковы его угловые скорость и ускорение по истечении 20 с?

Решение. Так как вал начинает вращаться из состояния покоя, то . В этом случае уравнения (3.9) и (3.10) при = 0 имеют вид

, (а)

. (б)

Из уравнения (б) находим , где φ = 2π N. Подставляя числовые значения, находим:

с^-2, с^-1.