ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕФТЕЙ

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

235

t

Рис. 2.12. К решению задачи № 107

Уравнения этих прямых таковы: МА: x − c t = x1 и МВ:

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

236

pˆ(x,t) = 12 [ϕ(x −ct)+ϕ(x +ct)]+ ρ20c [ψ(x −ct)−ψ(x +ct)],

Эти формулы полностью определяют течение, возникающее в бесконечном трубопроводе из начального состояния. Формулы, как уже было сказано, называются формулами Даламбера.

108. Рассмотрим плоскость переменных ( x,t ) рис. 2.13. Через начало координат проведем прямую x = ct , отделяю-

t = 0 : v(x,0) = 0; p$(x,0) = p0

Рис. 2.13. К решению задачи № 108

щую возмущенную область ( 0 < x < ct ) трубопровода, то есть область, захваченную возмущением, связанным с началом закачки жидкости через сечение x = 0 , от невозмущенной области ( x > ct ), в которой жидкость еще покоится. В любой точке M(x,t) невозмущенной области v = 0,p$ = p0 :

Действительно, согласно формулам Даламбера (см. решение задачи № 107), получаем:

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Следовательно, при x > ct : v = 0,p$ = p0 .

Теперь обратимся к возмущенной области трубопровода 0 < x < ct . Вдоль прямой CD , имеющей наклон −с, име-

ет место равенства

p$ D − ρ0c vD = p$C − ρ0c vC = p0 − ρ0c 0 = p0 .

Поскольку величина vD = v(0,t) = ψ(t) известна по ус-

ловию задачи, то находим: p$ D = p$(0,t) = p0 + ρ0c ψ(t). Таким образом, давления и скорости в начальном сечении трубопровода известны.

Заметим далее, что момент времени, к которому относится точка D , равенt − xс, где t − момент времени, в ко-

торый ищется решение, поэтому:

pˆ N (x,t)= p0 +ρ0с vD =p0 +ρ0с v(0,t− xc)= p0 +ρ0с ψ(t − xc). v(x,t)= vD = v(0,t − xc)= ψ(t − xc).

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

238

Полученное решение показывает, что возмущение скорости распространяется в виде бегущей волны вправо по трубопроводу от начального сечения со скоростью c , вызывая при этом бегущую волну давления, превышающего первоначальное его значение p0 на величину ρ0с vD , где vD −

скорость закачки, в начальном сечении трубопровода.

109. Значения скорости vф и давления pф за фронтом

волны связаны со значениями тех же параметров до фронта волны формулой Н.Е. Жуковского

pф − p0 = ρ0c (v0 − vф ). (*)

Помимо этого, состояние за фронтом волны удовлетворяет условию на характеристике dxdt = −c дифференциальных

уравнений (64) движения жидкости (см. решение задачи №

106):

или, если брать производную по времени в точках перед фронтом волны:

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

110. Рассчитаем сначала исходный, невозмущенный, режим движения жидкости в трубопроводе. Для этого составим уравнение баланса напоров

hп +(565 −0,797 10−3 Q2 )= hк +λL v2 , d 2g

где hп ,hк − напоры перед насосом и в конце трубопровода;

L − длина трубопровода; d = D − 2δ − его внутренний диаметр; Q − расход перекачки; v − средняя скорость. В тер-

минах скорости это уравнение имеет вид: 565 −59,54 v2 = 8194 λ v2 .

Решая его методом итераций (последовательных приближений), находим: λ0 = 0,0214, v = 155, м/с. Эта скорость

соответствует расходу Q0 = 423,7 м3/ч. Из (Q − H)− характеристики насоса находим соответствующий напор H0 :

H0 = 30 + (565 − 0,797 10−3 423,72 )= 451,9 м.

Наконец, определяем давление p0 в начале трубопро-

вода: p0 = ρ0gH0 = 840 9,81 451,9 = 3,724 МПа.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

240

Скорость c распространения волн давления в трубопроводе находится из первой формулы (62) Н.Е. Жуковского:

Следовательно, волна пониженного давления дойдет до станции за 350001102 31,8 с.

Чтобы определить амплитуду распространяющейся волны, нужно найти ее начальное значение ∆p0 , опреде-

ляемое разностью давлений в месте аварии до и после нее. Давление p в месте аварии было p = ρ0gH , где H −

напор в месте аварии. Имеем:

трубопровода вызвал возникновение скачка разряжения величиной p − pатм. = 1194, МПа.

По мере движения волны разряжения к насосной станции скачок давления затухает и его амплитуда определяется формулой

∆p(t)= ∆p0 exp(−λ0 v0 t4d),

см. решение задачи № 109. Подставив в эту формулу числовые данные, получим, что через 31,8 с скачок давления станет равным:

∆p(t=31,8c)=1,194 exp[−0,02141,55 31,8(4 0,311)] 0,51МПа.

По второй формуле (63) Н.Е. Жуковского можно определить, на сколько возрастает скорость жидкости непосредственно за фронтом волны. Обозначив это возрастание через ∆v , получим:

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Таким образом, в момент прихода волны на насосную станцию скорость vф течения за фронтом волны станет равной

155, + 0,55 = 2,1 м/с, а давление: pф =(3724, −051, )=3214, МПа.

Обозначим через p1 и v1 давление и скорость жидко-

сти на входе насосной станции после того, как волна разряжения отразится от нее и пойдет в обратном направлении. Тогда, с одной стороны, эти величины удовлетворяют условию на (Q − H)− характеристике станции:

Исключив из этой системыp1 ρ0g , получим квадратное уравнение для определения скорости v1 :

59,54 v12 +112,33 v1 − 440,9 = 0.

Отсюда находим, что v1 = 1,94 м/с ( Q = 530 м3/ч).

Из первого уравнения системы находим давление p1 : p1 =ρ0g (595−5954, v12 )=840 981, (595−5954, 194, 2 ) 3056, МПа.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

242

Таким образом, давление на станции упадет с 3,724 до 3,056 МПа, то есть уменьшится на 0,668 МПа, а расход увеличится с 423,7 до 530 м3/ч, то есть на 106,3 м3/ч.

111. Поскольку интерес представляют моменты времени, далекие от начального, то используем уравнения (68) с

Сначала оценим коэффициент b , для чего определим начальную vн и конечную vк скорости течения жидкости:

Соответственно этому вычисляем коэффициенты λ0 = λн и λ1 = λк гидравлического сопротивления, убедившись пред-

варительно, что течение происходит в режиме гладкого трения:

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

243

Можно также вычислить скорость c распространения волн давления в трубопроводе:

После этого можно рассчитать параметры b и a линеаризации:

a = c b = 959 0,021 0,66 104 м с .

Обратимся теперь к решению уравнения. Поскольку участок трубопровода имеет длину 200 км, то волна возмущения достигнет сечения x = 75 км примерно за 75 с, а отраженная от конца участка она вернется в это сечение не ранее, чем через 250 с, при этом 75 + 250 = 325 > 300 с. Эта оценка дает основание рассматривать нестационарный процесс на участке 0 < x < 75000 трубопровода в течение первых 5 мин как происходящий в полубесконечном трубопроводе, то есть трубопроводе, неограниченно простирающемся вправо от начального сечения. Отсюда решение уравнения (***) ищем при следующих начальных и краевых условиях:

v(x,0) = vн , v(0,t) = vк , v(∞,t) = vн .

Аналогично формуле (72) находим:

или в терминах расходов:

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

244

Q(x,t)= Qн +(Qк −Qн ) erfc(x2a t ),

Z

где erfcZ =1−2 π ∫e−ς2 dς - так называемая функция эр-

0

фик, выражающаяся через интеграл ошибок, часто встречающийся в математической статистике; для этой функции

Таким образом, Q(5мин) = 1816 м3/ч.

112. Поскольку интерес представляют моменты времени, достаточно удаленные от начального ( t ≥ Lc =100 с), то для расчета давления можно использовать уравнение (68)