ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕФТЕЙ

An и Bn интегрирования определяем из краевых условий, то есть условий при x = 0 и x = L :

Rn (0)= 0 : An sin(µn 0)+ Bn cos(µn 0)= 0 ; Rn (L)= 0 : An sin(µn L)+ Bn cos(µn L)= 0 .

Отсюда заключаем, что Bn = 0 и An sin(µn L)= 0 .

Очевидно, что для существования ненулевого решения, необходимо, чтобы sin(µn L)= 0 , то есть µn L = πn илиµn = πnL ,

условиям, поскольку этому уравнению и этим условиям удовлетворяет каждый ее член. Таким образом, остается подобрать

Можно проверить справедливость следующих тождеств:

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

где m и n – целые положительные числа. Поэтому, умножая обе части последнего тождества на sin(πmxL) и интегрируя полученное произведение от 0 до L, получаем:

Интеграл в правой части полученного равенства вычисляется интегрированием по частям – он равенLπm , следовательно,

Am = 2πm . Окончательно имеем:

Массовый расход M& газа в новом стационарном режиме равен, согласно (2):

M& 2 = −S2 γd pн.2 −pк.2 ,

λc2 L

а в текущий момент времени в конце участка газопровода, то есть при x = L , он определяется выражением:

Поскольку нас интересуют моменты времени, в которые M& (L,t)≈ M& , то отношение(M& + M ) M& ≈ 2 , следовательно:

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Вычисляя левую часть этого равенства на основе решения

(5), имеем:

то есть получаем уравнение для определения искомого момента времени t.

Экспоненты в левой части полученного уравнения с ростом номера n уменьшаются, поэтому члены ряда с номерами 2,3,4 и т.д. будут значительно меньше члена ряда с номером n =1 . Если ограничиться первым членом ряда в решении задачи, то уравнение упрощается:

Подставляя сюдаa2 = d Zср.RTср. (λvср. ), получаем ответ:

241. В решении предыдущей задачи № 240 была получена формула, определяющая время переходного процесса, о котором идет речь. Для того чтобы воспользоваться этой формулой, вычислим коэффициент λ гидравлического сопротивления и сред-

нюю скорость vср. в переходном процессе. Имеем:

λ = 0,067 (2 0,051000)0,2 0,0106 .

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

338

Далее вычисляем расходы, средние давления и средние скорости газа начального и конечного стационарных режимов:

vср. = 0,5 (10,3 + 7,8) 9 м/с.

Теперь можно использовать полученную при решении задачи № 240 формулу

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

По той же формуле (111) можно получить давление в начале участка при новом расходе:

откуда находим: pн. 4,81 МПа.

В первом случае pср. ≈4,88 МПа, во втором – 4,51 МПа.

поэтому в качестве vср. можно принять скорость, равную среднему арифметическому найденных: 5,73 м/c.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

340

Решение уравнения (140), подобно тому, как это делалось при решении задачи № 240, будем искать в виде ряда. Для этого положим:

qк.2 (x,t)= q2к.1 + (q2к.0 − q2к.1 ) Ф(x,t),

где Ф(x,t)− искомая безразмерная функция. Эта функция

удовлетворяет уравнению (139), а также начальному и краевым условиям:

Вначале участка (при x = 0 ): Ф(0,t)= 0 для всех t > 0 .

Вконце участка (при x = L ): p(L,t)= const.: из (139)

следует (∂2p2 ∂x2 )x=L = 0 и с учетом (141) - (∂Ф∂x)x=L = 0 для всех t > 0 .

Поскольку при t = 0

qк.2 (x,0)= q2к.1 + (q2к.0 − q2к.1 ) Ф(x,0)= q2к.0 ,

то начальное условие имеет вид:

Ф(x,0)=1 .

Согласно методу разделения переменных, ищем функцию Ф(x,t) в следующем виде:

∞

Ф(x,t)= ∑Θn (t) Rn (x).

n =1

Потребуем, чтобы каждый член этого ряда в отдельности удовлетворял исходному дифференциальному уравнению. Получим:

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

341

Левая часть этого уравнения зависит только от t, правая

– только от x. Такое может быть только в случае, если каждая из этих частей есть константа. Имеем:

интегрировав полученный результат по x от 0 до L, получим уравнение для определения An :

Таким образом, решение задачи имеет вид:

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

342

Отсюда видно, что члены ряда быстро убывают с ростом номера n, если a2tL2 не слишком мало. Поэтому, если

для определения искомого момента t времени. Решив его,

найдем: t 555 с ( ≈ 9,25 мин).

243. Найдем сначала давление p газа в сечении утечки. Для этого воспользуемся формулой

p2 (x)= pн2. −(pн2. −pк2. ) xL .

Подставив в нее исходные данные из условия, получим: p2 = 5,52 −(5,52 −3,52 ) 30150 p = 5,162 МПа.

Далее воспользуемся формулами (144):

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

343

газа или, учитывая, что плотность газа при стандартных условиях равна 1,204 0,62 0,746 кг/м3, объем потерянного в утечке газа составит ≈ 24,85 тыс. м3.

244. Поскольку отверстие в газопроводе мало, допустимо считать, что утечка газа не влияет на распределение давления по длине газопровода, которое имеет вид:

p2 (x)= pн2. −(pн2. −pк2. ) xL ,

следовательно, давление p в месте повреждения трубопровода можно рассчитать по этой формуле:

p = 5,82 −(5,82 −3,52 ) 80120 4,4 МПа.

Отношение p pатм. равно4,40,1013 43,4 . Поскольку эта величина значительно больше критического отношения

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

отделяющего звуковой режим истечения газа от дозвукового, то в данном случае истечение газа через отверстие будет звуковым, и скорость vc истечения равна местной скорости

звука:

срезе выходного отверстия определяются формулами (144):

Следовательно, массовый расход M& у. утечки будет равен: M& у. =ρcvcSc =19,53 400,6 (4 10−4 ) 3,129 кг/с.

За сутки будет потеряно: 24 3600 3,129 270,35 103 кг газа или, учитывая, что плотность газа при стандартных условиях равна 1,204 (287,1500) 0,691 кг/м3, объем поте-

рянного газа составит ≈ 391,24 тыс. м3.

245. Атмосферное давление, как известно, равно 0,1013 МПа, поэтому легко проверить, что в первом случае превышение давления в трубопроводе над атмосферным больше, а во втором случае меньше величины(p pатм. )кр. :