Приклади

Приклад 3.9. Порожнистий циліндр вагою і радіусом , закріплений у колодці, може ковзати без тертя горизонтальною площиною. Усередині циліндра знаходиться кулька А вагою , яка з положення, що показане на рис. 3.36 починає рухатися вниз поверхнею циліндра без початкової швидкості.

Знайти переміщення циліндра вздовж опорної площини до моменту часу, коли кулька займе всередині циліндра найнижче положення, а також тиск колодки на горизонтальну площину як функцію кута .

Рисунок 3.36

Розв’язання. Система складається з циліндра й кульки, на які діють зовнішні сили ваги і . Рух системи обмежується гладенькою горизонтальною площиною. Подумки відкидаючи в’язь, прикладемо до колодки нормальну реакцію поверхні, позначивши її .

Система перетворилася у вільну. Можна застосувати теорему про рух центра мас у вигляді першого рівняння (3.154)

,

оскільки всі сили вертикальні. Звідси .

Стала дорівнює нулеві, оскільки початкова швидкість тіл дорівнювала нулеві.

Отже, оскільки то , тобто центр мас системи зберігає початкове положення

. (3.178)

Нехай у початковий момент часу вісь проходила через центр циліндра (кола). Тоді

.(3.179)

Але при подальшому русі кульки вниз її координата зменшуватиметься. Тому згідно з (3.178) і (3.179) координата центра циліндра повинна збільшуватись, тобто циліндр пересуватиметься вправо. Відповідно вісь займатиме інше положення.

Обчислимо координату центра мас системи у кінцевому положенні

. (3.180)

Порівнюючи (3.179) і (3.180), знаходимо

.

Звідси

.

Застосовуємо друге рівняння системи (3.154)

. (3.181)

Проекція головного вектора сил на вісь

.

З рівняння (3.181) знаходимо

. (3.182)

Отже, для визначення реакції потрібно обчислити координату центра мас у довільному положенні кульки:

(3.183)

де – стала відстань.

Диференціюємо (3.183) за часом

;

. (3.184)

Підставляючи (3.184) в (3.182), знаходимо нормальну реакцію площини

.

Згідно з третім законом І.Ньютона тиск на поверхню колодки дорівнює силі за модулем і напрямлений у проти- лежний бік.

Отже, теорема про рух центра мас дасть змогу роз-в’язати як пряму, так і обернену задачі динаміки системи.

Наприклад, її можна застосувати при визначенні руху однієї точки системи, якщо рух решти точок системи відомий, а також при визначенні складових головного вектора сил.

Приклад 3.10. У човні вагою 900 Н, який пливе річкою, знаходяться двоє людей вагою 500 Н і 700 Н. Щоб помінятися місцями, людина вагою 500 Н переходить вздовж човна в напрямі течії річки зі швидкістю 0,6 м/с відносно човна, а друга в той самий час рухається у протилежний бік з відносною швидкістю 0,2 м/с.

Нехтуючи опором води, знайти швидкість човна за час переміщення людей, якщо швидкість течії = 0,4 м/с.

Розв’язання. Система складається з трьох тіл: човна і двох людей. На них діють три активні сили ваги. В’язь – вода в річці. Її реакція складається з виштовхувальної сили Архімеда . Опором води нехтуємо. Таким чином, зовнішні сили паралельні вертикальній осі, тобто їх проекція на горизонтальну площину дорівнює нулеві (рис. 3.37).

Рисунок 3.37

Використаємо перше рівняння системи (3.157)

. (3.185)

Звідси

,

тобто виконується закон збереження швидкості центра мас.

На підставі означення швидкості центра мас знаходимо

, (3.186)

де – маси; – швидкість відповідно людей і човна.

У початковий момент часу відносна швидкість людей дорівнює нулеві, тобто всі тіла мають швидкість течії, і швидкість центра мас дорівнює

, (3.187)

де = 0,4 м/с.

Позначимо – швидкість човна відносно річки за час переміщення людей. Швидкість центра мас системи

.(3.188)

Прирівнюючи вирази (3.187) і (3.188) на підставі (3.185), маємо

м/с.

Абсолютна швидкість човна дорівнює , тобто 0,324 м/с.

Приклад 3.11. Однорідний диск масою М і радіусом котиться без ковзання вздовж прямолінійної рейки. Центр С диска має швидкість . З тією самою за модулем швидкістю вздовж ободу диска рухається точка 2 масою . Знайти кінетичний момент системи диск – точка відносно миттєвої осі обертання диска Р, коли точка займає на диску найвище положення.

Розв’язання. Кінетичний момент системи складається з двох доданків.

За означенням (3.177) . Вважаємо, що вісь перпендикулярна до площини диска і проходить через миттєвий центр швидкостей Р (рис. 3.38). Момент інерції диска

.

а	б
Рисунок 3.38

Кутова швидкість диска .

Момент кількості руху точки у заданому положенні дорівнює

,

де – абсолютна швидкість точки, яка складається з переносної швидкості і відносної ; обидві швидкості напрямлені горизонтально, тобто паралельні одна одній. Тому = 3 .

Кінетичний момент системи

.

Приклад 3.12. У вузький паз ОА однорідного горизонтального диска радіусом і вагою (рис. 3.39) вставлено однорідний стержень довжиною і вагою Р, кінець В якого закріплений у центрі О диска, що обертається зі сталою кутовою швидкістю . Кінець В звільнився від закріплення, і стержень почав рухатися вздовж паза ОА. Знайти кутову швидкість диска в момент, коли кінець В стержня знаходиться на відстані від осі на .

Рисунок 3.39

Розв’язання. Система складається з двох тіл: диска і стержня. На них діють активні сили ваги і , прикладені в центрах їх ваги. Звільнимо систему від в’язей: підп’ятника і підшипника . Їхні реакції розкладемо на складові, які зображено на рисунку. Момент усіх сил відносно осі дорівнює нулеві. Отже, кінетичний момент системи залишається сталим за весь час руху системи:

.

У початковий момент часу кутова швидкість системи . Отже, на підставі (3.177)

.

Тут складається з моменту інерції однорідного диска

і моменту інерції стержня

.

Дістаємо

.

У кінцевому положенні змінився лише момент інерції стержня

.

Тому

.

На підставі закону збереження кінетичного моменту дістаємо

,

звідки

.