21.Квантори. Операція навішування кванторів. Висловлення з кванторами.
Висловлення
можуть утворюватись не лише шляхом
надання певного значення змінній
предиката, можна утворити висловлення,
поставивши перед предикатом одне з
слів «будь-який», «довільний», «кожний»,
«усі» ,«існує» та інші. Ці слова
називаються кванторами.
Розрізняють два види кванторів –
квантори
загальності і
квантори
існування.
Квантори
загальності вживаються
за допомогою слів «будь-який», «кожен»,
«усі», «довільний» та позначається
символом
.
Квантори
існування виражаються
словами «існує», «хоча б один», «деякі»
і позначається символом
.
Операція
навішування кванторів –
це операція утворення висловлення з
предиката за допомогою кванторів.
Логіка часто розглядає предикати, які
перетворюються в істинні висловлювання
при будь-яких значеннях змінних з
області визначення. Такими предикатами
є ті, які після операції навішування
кванторів виражають властивості
арифметичних дій і мають вигляд
рівностей. Рівності, які справедливі
при будь-яких значеннях змінних,
називаються тотожностями.
22. Побудова заперечення висловлень з кванторами.
Щоб виконати заперечення висловлення, яке вміщує квантор загальності, потрібно замінити квантор загальності на квантор існування і виконати заперечення предиката, що стоїть після квантора. Аналогічно для квантора існування: щоб виконати заперечення висловлення, яке вміщує квантор існування, треба замінити квантор існування на квантор загальності і виконати заперечення предиката, який стоїть після квантора. Також можна утворити заперечення, додавши функтор «не» або «невірно, що». Таким чином, є два основні способи побудови заперечень висловлень з кванторами:
1) поставити перед висловленням функтор «не» або «невірно, що»;
2) квантор загальності (існування) замінити на квантор існування (загальності) і виконати заперечення предиката, який стоїть після нього:
23. Відношення логічного слідування предиката. Необхідні й достатні умови.
Якщо
імплікація предикатів
перетворюється в істинне висловлення
при всіх значеннях х з області Х, то
предикат В(х) логічно
слідує
з предиката А(х).
В
таких випадках говорять, що між
предикатами існує відношення
логічного слідування.
Це символічно можна записати так:
.
Щоб встановити, чи існує відношення
логічного слідування між предикатами,
треба утворити з цих двох предикатів
імплікацію в довільному порядку і
переконатися, що область істинності
однієї з цих імплікацій співпадає з
областю визначення і, крім цього, область
істинності предиката-умови є підмножиною
області істинності предиката-висновку.
Тобто є дві умови відношення логічного
слідування:
1)
;
2)
.
Якщо предикати А(х) і В(х) перебувають у відношенні логічного слідування, то предикат В(х) називається необхідною умовою, а предикат А(х) – достатньою умовою. Тобто імплікацію можна прочитати так:
1) для того, щоб А(х), необхідно, щоб В(х);
2) для того, щоб В(х), достатньо, щоб А(х).