24. Відношення рівносильності предикатів.

Два предиката А(х) і В(х), задані на одній і тій же області визначення Х, перебувають у відношенні рівносильності, якщо області їх істинності співпадають. Символічно це записують так: Предикати А(х) та В(х) перебувають у відношенні рівносильності, якщо кожен з них логічно слідує з іншого:

З цього випливає, що кожен з предикатів є одночасно необхідною й достатньою умовою для іншого. Тобто якщо є потреба встановити, чи є предикати рівносильними чи не є, то треба спочатку встановити, чи існує між ними відношення логічного слідування. Для цього треба переконатись, що або .

25. Будова теореми. Види теорем.

Часто доводиться мати справу з твердженнями, які є характеристиками певних об’єктів чи відношень між ними. Означеннями називаються ті твердження, які розкривають властивості цих предметів і приймаються без доведень на основі домовленостей. Деякі властивості об’єктів є настільки очевидними, що не потребують доведення і формулюються у вигляді тверджень, які називають аксіомами. Також зустрічаються твердження, істинність яких необхідно довести чи обґрунтувати шляхом логічних міркувань, і такі твердження називаються теоремами. Теорема – це імплікація предикатів, яка перетворюється в істинне судження на всій області визначення. Теорему можна записати символічно у найпростішому вигляді: . Тобто теорема складається з трьох частин: роз’яснювальної частини, умови і висновку. Теореми задають в імплікативній або категоричні формі за допомогою слів «необхідно», «достатньо», «необхідно і достатньо» та ін. Є кілька видів простих теорем. Нехай дана проста теорема. Тоді:

1) обернена теорема: ;

2) протилежна теорема: ;

3) обернена до протилежної:

;

4) протилежна до оберненої:

;

Шляхом виконання цих операцій можна утворювати різні види теорем не лише з простих, але й з теорем ускладненої структури. Варто зауважити, що значення логічної вартості першої і другої теорем буде однаковим, як і третьої і четвертої. Також варто згадати закон контрапозиції:

.

Цей закон говорить, що дана теорема і теорема, обернена до протилежної, завжди рівносильні, тобто коли перша теорема істинна, істинною буде й друга, і навпаки. Цей закон часто використовують для доведення теорем методом від супротивного.

26. Класифікація категоричних суджень за кількістю і якістю.

Розрізняють одиничні і загальні висловлення. Одиничні висловлення стверджують, що певний індивідуальний об’єкт належить до деякого класу, а в загальних висловленнях стверджується, що деякий клас А цілком або частково міститься в іншому класі В. Загальні висловлення називають також субсумпційними, або категоричними. Категоричні судження класифікують за кількістю:

1) загальні висловлення характеризують весь клас S;

2)часткові висловлення характеризують лише деякі елементи класу S.

Також категоричні висловлення класифікують за якістю:

1) стверджувальні висловлення вказують, що названий клас S частково чи повністю включений

в клас P;

2) заперечувальні висловлення вказують, що названий клас S не включається в клас P.

Якщо охарактеризовані вище два поділи категоричних висловлень об’єднати, то можна отримати наступні:

1) загальностверджувальні висловлення мають структуру: «Усі S є P»;

2) загальнозаперечувальні висловлення мають структуру «Усі S не є P»;

3) частковостверджувальні висловлення мають структуру «Деякі S є P»;

4) частковозаперечувальні висловлення мають структуру «Деякі S не є P».