15.5 Структурні схеми і передатні функції

замкнутих дискретних систем

З амкнута лінійна амплітудна імпульсна система (АІС), що включає в себе імпульсний елемент (ІЕ), безперервну частину (БЧ) і датчик неузгодженості (ДН), може бути представлена у вигляді структурної схеми, зображеної на рис. 15.10. Вона складається з найпростішого імпульсного елемента (НІЕ) з періодом дискретності T, що формує елемента (ФЕ) з передатною функцією WФЕ(s) і безперервної частини (БЧ), розділеної на дві ділянки з передатними функціями W₁(s) і W₂(s).

g

W₂(s)

W₁(s)

W_ФЕ(s)

НІЕ

ДН xfy

-

Рис. 15.10. Структурна схема замкнутої імпульсної системи

Для одержання математичного опису замкнутої імпульсної системи встановимо зв'язку між вихідною керованою величиною y і неузгодженістю x з однієї сторони й що задає g і обурює f впливами з іншої сторони.

Визначимо спочатку дискретну передатну функцію замкнутої імпульсної системи по впливі, що задає, для чого приймемо f(t)=0.

До входу найпростішого імпульсного елемента прикладається неузгодженість, обумовлене як

x(t) = g(t) - y(t).

Т ому що найпростіший імпульсний елемент замикається лише в дискретні моменти часу t = n, те на його виході утвориться сигнал, якому можна записати через ґратчасті функції у вигляді

x[n] = g[n] - y[n]. (15.65)

Піддавши рівняння (15.65) z-перетворенню, одержимо рівняння помилки в зображеннях:

X(z) = G(z) - Y(z). (15.66)

Рівняння розімкнутої імпульсної системи

Y(z,σ) = W(z,σ) X(z), (15.67)

де

W(z,)=Z_{W_ФЭ(s)W₁(s)W₂(s)}.

При σ = 0 одержимо зображення ґратчастої функції y[n]

Y(z) = W(z) X(z). (15.68)

Підставивши (15.68) у рівняння замикання (15.66), знайдемо рівняння замкнутої імпульсної системи щодо зображення неузгодженості:

Якщо далі підставити (15.69) в (15.67), то одержимо рівняння замкнутої імпульсної системи, що описує процеси в будь-який момент часу t = (n+σ)T:

де

Функція Ф(z,σ) називається дискретною передатною функцією замкнутої імпульсної системи й рівняється відношенню модифікованого z-зображення вихідної керованої величини замкнутої імпульсної системи до z-зображення вхідного впливу, що задає, при нульових початкових умовах:

Дискретна передатна функція замкнутої імпульсної системи, також як і розімкнутої, залежить від відносного часу σ.

При σ = 0, тобто для моментів часу t = nТ

Рівняння помилки в зображеннях для будь-якого моменту часу t = (n+σ)T, що характеризує відтворення системою впливу, що задає, має вигляд

З останнього вираження треба, що для кожного ( (будь-якого моменту часу) передатну функцію замкнутої імпульсної системи помилково щодо впливу, що задає, визначити неможливо, тому що вона залежала б від вхідного сигналу g.

Однак, дискретна передатна функція замкнутої імпульсної системи помилково щодо впливу, що задає, існує при σ = 0, тобто для моментів часу t = nТ:

Далі знайдемо зображення вихідної керованої величини від впливу, що обурює, f(t) при g(t) = 0, для чого вихідну структурну схему системи (рис. 15.10) перетворимо до виду, показаному на рис. 15.11.

На підставі наведеної структурної схеми z-перетворення вихідної величини системи можна записати в наступному виді

Y(z,) = X₁(z,)  X₂(z,) = Z_{W₂(s) F(s)}  W(z,) Y(z). (15.75)

f

x₁

-xx₂ y

-

Рис. 15.11. Наведена структурна схема замкнутої

імпульсної системи

При σ = 0, тобто для дискретних моментів часу t = nT, це рівняння можна переписати як

Підставивши його в (15.75), одержимо рівняння для вихідної величини системи в z-зображеннях для будь-якого моменту часу t = (n+σ)T:

Звідси треба, що ввести поняття дискретної передатної функції замкнутої імпульсної системи по впливі, що обурює, неможливо, тому що вона залежала б від останнього. Для дискретних моментів часу t = nТ, тобто при σ = 0, можна написати лише наступне відношення

яке збігається з вираженням для дискретної передатної функції замкнутої імпульсної системи помилково щодо впливу, що задає, у дискретні моменти часу t = nТ.

Таким чином, на відміну від безперервних систем, для дискретних систем при будь-яких значеннях ( має місце тільки одна передатна функція, а для σ = 0 - дві передатні функції щодо впливу, що задає; передатні функції по впливі, що обурює, не існують.