Спектри сигналів
Як вже було сказано, періодичний сигнал представляється рядом Фурье (2.2), і структура його спектру повністю визначається амплітудами і фазами гармонік, тобто модулем і аргументом .
Безперервна крива, що з’єднує кінці спектру, називається огинаючою спектру амплітуд. На практиці часто зручна для застосування комплексна форма ряду Фурье:
|
(2.10) |
де
–
комплексна амплітуда
|
(2.11) |
Для спектру будь-яких періодичних сигналів можна встановити характерні властивості:
1 Спектри завжди дискретні, вони містять тільки гармоніки, частоти яких кратні основній частоті. Деякі гармоніки можуть бути відсутніми.
2
Чим більше період сигналу
тим
менше інтервал
між сусідніми частотами і, отже, "густіше"
спектр. При
отримують
неперіодичну функцію, спектр якої стає
суцільним, але при цьому амплітуди
зменшуються.
3
Із зменшенням тривалості імпульсів
при постійному періоді амплітуди
гармонік зменшуються, а спектр стає
"густішим".
4
Якщо із зменшенням тривалості прямокутних
імпульсів збільшувати амплітуду згідно
із законом
то їх послідовність прагнутиме до
послідовності дельта-функцій, а
амплітудний спектр – до постійного для
всіх частот значення
.
Для неперіодичних сигналів вводиться поняття спектральної щільності, яка є
|
(2.12) |
де
–
нескінченно малі амплітуди неперіодичної
функції
|
(2.13) |
Величину
називають також спектральною
характеристикою неперіодичної функції,
а модуль
– спектром.
Оскільки спектральна характеристика комплексна величина, то її можна представити у вигляді
|
(2.13) |
где
Структура спектру періодичного сигналу повністю визначається модулем і фазою спектральної характеристики.
Залежність модуля і фази спектральної характеристики неперіодичного сигналу називають відповідно спектром амплітуд і спектром фаз неперіодичного сигналу. Особливості спектральних властивостей неперіодичного сигналу полягають в наступному:
1
Спектр завжди безперервний і
характеризується щільністю амплітуд
гармонік, що доводяться на інтервал
.
2 При зменшенні тривалості імпульсу його спектр розширюється уздовж осі а значення щільності амплітуд зменшуються.
3
Якщо одночасно із зменшенням тривалості
τ прямокутного
імпульсу збільшувати його амплітуду
згідно із законом
то імпульс наближається до дельта-функції,
а спектральна щільність до постійної
величини, рівної одиниці у всьому
діапазоні частот
.
2.5 Розподіл енергії в спектрах сигналів
У разі періодичного сигналу мову ведуть про розподіл потужності в його спектрі, яка визначається як
|
(2.14) |
де
–
коефіцієнти ряду Фурье відповідного
періодичного сигналу;
– опір елементу або ділянки, через яку
проходить сигнал.
Розподіл енергії в спектрі періодичного сигналу представляється у вигляді суми нескінченно малих доданків, відповідних нескінченно малим ділянкам частотного спектру:
|
(2.15) |
Вираз
є енергією, що виділяється спектральними
складовими сигналу, розташованими в
смузі частот
у околиці частоти
і
називається енергетичною спектральною
щільністю неперіодичного сигналу.
Формула (2.15) називається формулою Рейлі
або рівнянням Парсеваля і використовується
для вибору максимальної частоти
пропускання за умови, що основні складові
спектру пропускаються без зміни.