3.2 Приклади рівнянь об'єктів керування

У теорії автоматичного управління широко використовується метод математичних аналогій, згідно якому різні по фізичній природі об'єкти описуються однотипними математичними залежностями.

Розглянемо деякі приклади складання рівнянь статики і динаміки для різних по фізичній природі об'єктів.

1. 3.2.1 Гідравлічний резервуар

Прикладом простого об'єкту автоматичного управління є гідравлічний резервуар, в якому є приток і стік рідини. Принципова і структурна схеми представлені на рис. 3.2.

Рис. 3.2 Гідравлічна ємність: а – принципова схема; б – структурна схема

Основною координатою, що характеризує стан даного об'єкту, є рівень рідини який вибирається як вихідна регульована величина. Вхідною і відповідно регулюючою дією є швидкість притоку води в резервуар , зовнішнім збуренням – витрата води з резервуару . При постійному ступені відкриття дроселя на притоці рідини, рівень визначається різницею . За умовами роботи об'єкту величина притоку змінюється довільно в часі.

Рівняння динаміки, що описує залежність рівня у перехідному режимі від відповідно до закону гідравліки записується у вигляді

(3.2)

де – площа поперечного перетину резервуару.

Рівняння (3.3) є математичний опис об'єкту регулювання – гідравлічної ємності і є звичайним диференціальним рівнянням 1-го порядку.

3.2.2 Електрична ємкість

Електричною ємкістю називається ланцюг, що складається з опору і ємкості (рис. 3.3).

Рис. 3.3 Електрична ємкість: а – принципова схема; б – структурна схема

Вихідною координатою такого об'єкту може бути вибраний заряд на обкладинках конденсатора, а вхідний – напруга на вході ланцюга .

Диференціальне рівняння може бути отримане на основі закону Кирхгофа:

(3.4)

Таким чином, математичним описом електричної ємкості є звичайне диференціальне рівняння 1-го порядку.

3.2.3 Хімічний реактор повного перемішування

Нехай в реакторі протікає хімічна реакція типу (рис. 3.4). При виведенні рівнянь прийняті наступні допущення:

1) у реакторі здійснюється ідеальне перемішування реакційної суміші, тобто концентрація в усіх точках реактора однакова;

2) теплоємність реакційної суміші постійна і рівна теплоємності початкового реагенту;

3) реакція протікає в ізотермічних умовах, тобто температура в реакторі постійна.

Рис. 3.4 Хімічний реактор: а – принципова схема; б – структурна схема

При цих допущеннях реактор може розглядатися як об'єкт із зосередженими параметрами, матеріальний баланс якого має наступний вигляд:

Зміна кількості речовини А в реакторі

=

Кількість реагенту А, що поступив в реактор у вхідному потоці

-

Кількість речовини А, що вийшла з реактора

-

Кількість речовини А, що вступила в реакцію

(3.5)

де – об'єм реактора; – концентрація речовини ; – час; – об'ємна витрата реагенту ; – вхідна концентрація речовини; – константа швидкості реакції.

Таким чином, опис хімічного реактора ідеального перемішування, в якому протікає реакція типу здійснюється звичайним диференціальним рівнянням першого порядку.

Як видно з цих трьох прикладів, динамічні властивості різних по фізичній природі об'єктів мають деякі загальні риси, завдяки чому всі розглянуті об'єкти описуються однотипними рівняннями – звичайними диференціальними рівняннями першого порядку.