2. Алгебра подій.

Подія це результат деякого експерименту при визначеному комплексі умов S.

Подія, що неминуче відбувається при кожній реалізації комплексу умов S, називається вірогідною, позначається через . Якщо подія свідомо не може відбутися при здійсненні комплексу умов S, то вона називається неможливою, позначається Ø. Подія А, що при реалізації комплексу умов S може відбутися, а може і не відбутися, називається випадковою.

Між подіями визначені наступні операції і відносини:

	подія А випливає з події В.
	подія А дорівнює події В. Це можливо в тому і тільки тому випадку, коли й одночасно .
	сума подій. Це подія, що полягає в тому, що відбулася принаймні одна з двох подій – А або В.
(АВ)	добуток подій. Це подія, що полягає в спільному здійсненні подій А і В. Таким чином, події А і В несумісні, якщо АВ=Ø.
	протилежна подія. Це подія, що полягає в тім, що А не відбувається.
	події утворять повну групу подій, якщо результатом випробування буде одна з них, до того ж ці події попарно несумісні, то б то і Ø .

3. Класичне означення ймовірності.

Імовірністю події А називається відношення числа рівно можливих випадків , сприятливих події А, до загального числа N рівно можливих випадків, при цьому воно є скінченим або зчисленим.

4. Теореми множення і додавання ймовірностей.

Імовірність події А, обчислена за умови, що відбулася подія В, називається умовною ймовірністю і позначається символом Р(А/В).

Формула множення ймовірностей

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(В/A).

Подія А незалежна від події В, якщо має місце рівність

Р(А/В)=Р(А),

тобто, якщо настання події В не змінює ймовірності події А. Але тоді і Р(В/А)=Р(В), тобто подія В також незалежна від А.

Якщо події А и В незалежні, то

Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Для будь-яких подій А і В має місце формула (теорема додавання для двох подій)

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

В окремому випадку, коли АВ=Ø,

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Якщо події незалежні в сукупності й утворюють повну групу подій, то

Зокрема, Звідси .

5. Формула повної ймовірності. Формула Байєса.

Якщо подія А може відбутися з однією з n несумісних подій які утворюють повну групу подій, то ймовірність події А визначається формулою, що має назву - формула повної ймовірності,

.

Події називають гіпотезами стосовно події А. Умовна ймовірність подій у припущенні, що подія А мала місце, визначається за формулою Байєса:

.

6. Схема Бернуллі.

Нехай ймовірність появи події А при одиничному випробуванні дорівнює р. Дослід повторюється п раз. Імовірність того, що в результаті цих п дослідів подія А відбудеться k раз, визначається за формулою Бернуллі

k=0,1,…,n,

де q=1-p – ймовірність настання протилежної події при одиничному випробуванні

7. Граничні теореми.

При великих значеннях п (порядку десятків, сотень) застосування формули Бернуллі приводить до громіздких обчислень, тому в таких випадках користуються наближеною формулою

де .

Ця формула заснована на локальній теоремі Муавра-Лапласа. Функцію табульовано. Таблиця значень приведена лише для додатніх значень , тому що = (функція парна). Функція швидко спадає, практично при , =0.

Якщо число незалежних випробувань п велике, а ймовірність p появи події в кожному з них мала, то ймовірність того, що подія А з'явиться k раз, варто знаходити по формулі Пуассона

де λ=np.

Якщо ймовірність p настання події А в кожнім з незалежних випробувань стала і відмінна від нуля й одиниці, то ймовірність того, що подія А наступить не менш раз і не більш раз,

де - функція Лапласа,

Ця формула заснована на інтегральній теоремі Муавра-Лапласа. Функція табульована. Таблиця значень функції складена тільки для додатніх значень x. Для від’ємних x значення функції також визначаються з цієї таблиці з урахуванням того, що непарна функція, тобто = . При дуже мало відрізняється від 0,5. Тому для значень дорівнюють =0,5.