3 Основы комбинаторики

3.1 Основные формулы

Предполагается, что m и n натуральные числа, причем m n.

Число перестановок из n элементов

(принято, что ).

При больших значениях n для приближенного вычисления применяется формула Стирлинга

,

или

.

Число сочетаний из n элементов по m

.

Справедливы следующие свойства сочетаний:

1. (свойство симметрии);

2. (свойство Паскаля);

3. .

Число сочетаний из n элементов по m с повторениями определяется по формуле

.

Если среди n элементов есть одинаковые (i-тый элемент повторяется n_i раз), то число различных сочетаний равно

,

где .

Число размещений из n элементов по m определяется по формуле

,

или

.

Число размещений из n элементов по m с повторениями:

.

Бином Ньютона:

.

Принято (к+1) член бинома обозначать через Т_к, то есть

(к=0,1,2,...,n).

Полиномиальная формула

.

2. Примеры

Пример 1. Решить уравнение

.

Решение

По формулам имеем

Так как ,

,

то .

Рассуждая аналогично, находим

.

Подставив в исходное уравнение выражения для и , приведя подобные члены, придем к уравнению

.

Решив это уравнение, находим: , .

Так как , то решением уравнения является .

Пример 2. На организацию соревнований выделено 760 условных денежных единиц (УДЕ). Сколько команд организаторы соревнований могут пригласить к себе, если команды встречаются между собой два раза, а на каждую игру выделяется 1 УДЕ?

Решение

Так как команды встречаются между собой два раза, то здесь необходимо применить формулу для размещений без повторений. В данном случае получаем или n(n-1)=760.

Получили квадратное уравнение n²-n-760=0.

Решив уравнение, находим .

Так как n N, то решением задачи будет n=23.

3.3 Варианты задачи №4

1. Сколько различных слов можно составить из пяти букв «а» и не больше, чем трех букв «в»?

2. Имеется по две монеты 5; 10; 50 копеек. Сколькими способами можно выбрать две из этих шести монет?

3. Для решения задачи с помощью ЭВМ используются в определенном порядке по две программы каждого из трех типов a, b, c. В списке указаны 88 последовательностей из шести программ: aabbcc; aabcbc; aacbbc;… .Все ли такие последовательности вошли в список?

4. Сколькими способами можно распределить четырех студентов для прохождения практики в двух фирмах?

5. Сколькими способами можно обозначить треугольник, отмечая его вершины большими латинскими буквами?

6. Сколькими способами можно выбрать некоторые из семи различных книг?

7. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить танцевать четырех из шести девушек?

8. Семь яблок и три апельсина надо положить в два пакета так, чтобы в каждом был хотя бы один апельсин, и чтобы количество фруктов в них было одинаковым. Сколькими способами это можно сделать?

9. Расписание одного дня содержит три пары. Определить количество таких расписаний при выборе из 11 предметов.

10. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределить между собой обязанности?

11. Тридцать человек разбиты на три группы по 10 человек в каждой. Сколько может быть различных составов групп?

12. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы A и B находились бы в соседних аудиториях?

13. Восемь авторов должны написать книгу из 16 глав. Сколькими способами возможно распределение материала между авторами, если два человека напишут по три главы, четыре – по две, два – по одной главе книги?

14. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на пять, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

15. Из группы в 12 человек выбирают ежедневно в течение шести дней двух дежурных. Определить количество различных списков дежурных, если каждый человек дежурит один раз.

16. На книжной полке размещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?

17. Собрание из 80 человек выбирает председателя, секретаря и трех членов ревизионной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?

18. Четыре стрелка должны поразить восемь мишеней (каждый по две). Сколькими способами они могут распределить мишени между собой?

19. Команда из пяти человек выступает в соревнованиях по плаванию, в которых участвуют еще 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды?

20. Два почтальона должны раснести 10 писем по десяти адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?

21. Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не больше пяти символов?

22. Двадцать восемь костей домино распределены между четырьмя игроками. Сколько возможно различных вариантов распределения?

23. Пять студентов нужно распределить по двум параллельным группам. Сколькими способами это можно сделать?

24. Лифт останавливается на 10 этажах. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками восемь пассажиров, находящихся в кабине лифта?

25. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр. Определить количество чисел, в которых присутствуют цифры 2, 4 и 5 одновременно.

26. Сколько четырехзначных чисел, составленных из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, содержат цифру 3 (цифры в числах не повторяются)?

27. Сколько трехзначных чисел, делящихся на три, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

28. Три автомашины № 1, 2, 3 должны доставить товар в шесть магазинов. Сколькими способами можно использовать машины, если грузоподъемность каждой из них позволяет взять товар сразу для всех магазинов, и если две машины в один и тот же магазин не направляются? Сколько существует вариантов маршрута, если решено использовать только машину № 1?

29. Поезд метро делает 16 остановок, на которых выходят все пассажиры. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками 100 пассажиров, вошедших в поезд на конечной остановке?

30. Сколькими способами можно построить в одну шеренгу игроков двух футбольных команд так, чтобы при этом два футболиста одной команды не стояли рядом?