5.5 Варианты задачи №10

Взвешенный орграф G задан матрицей весов W. Найти минимальный и максимальный путь из вершины 1 в вершину 6.

Вариант1 Вариант 2

Вариант 3 Вариант 4

Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8

Вариант 9 Вариант 10

Вариант 11 Вариант 12

Вариант 13 Вариант 14

Вариант 15 Вариант 16

Вариант 17 Вариант 18

Вариант 19 Вариант 20

Вариант 21 Вариант 22

Вариант 23 Вариант 24

Вариант 25 Вариант 26

Вариант 27 Вариант 28

Вариант 29 Вариант 30

5. Сетевое планирование

1. Основные понятия и формулы

Одно из применений теории графов – сетевое планирование, которое применяют, например, для организации и составления календарных планов реализации больших комплексов работ.

После определения работ и связей между ними строится ориентированный граф, который называется сетевым графом (на производстве его обычно называют сетевым графиком). Сетевой граф не может содержать циклов.

Если сетевой граф содержит несколько начальных вершин (в которые не входит ни одна дуга), то можно добавить еще одну вершину и соединить ее дугами со всеми начальными вершинами: граф будет иметь одну начальную вершину. Совершенно аналогично вводится конечная вершина, из которой не выходит ни одна дуга.

Вершины графа называют работами. Временем наступления работы считают время, когда завершено выполнение всех работ, предшествующих данной.

Раннее начало t_i каждой работы будем определять так:

1. для начальной работы t₁=0;

2. раннее начало любой работы определяется как максимум ранних из начал предшествующих работ вместе с их длительностями: t_i=max(t_ki+d_ki), где t_ki – ранние начала работ, предшествующих i-той, d_ki – длительности этих работ.

Продолжительность Т всей разработки равна сумме раннего начала конечной работы и её длительности:

.

Продолжительность разработки равна длине критического пути.

Для определения состава критического пути необходимо найти вспомогательные величины: ранние начала работ в обратном графе (отношение предшествования в прямом графе превратится в отношение следования в обратном графе и наоборот).

Раннее начало _i каждой работы обратного графа определим совершенно аналогично, как и для прямого графа, начиная с работы N n:

_n=0, _i=max (_ki +d_ki).

Аналогично определяется продолжительность разработки Т:

.

Ясно, что продолжительность разработки и в том, и в другом случае должна быть одинакова.

Длина m_i максимального из всех путей, проходящих через i-тую работу вычисляется по формуле:

m_i = t_i + _i +d_i.

Полный запас времени z_i данной работы определяется по формуле:

z_i = T - m_i.

Это величина, на которую можно увеличить длительность работы, чтобы длина критического пути не увеличилась.

Для работ, лежащих на критическом пути, z_i=0.

С целью упрощения расчетов и для наглядности каждая вершина графа представляется в виде круга, который разбивается на четыре сектора

Р исунок 8 - Представление вершины графа

(рисунок 8): в верхнем секторе проставляется номер работы, в левом - раннее время наступления работы ti., в правом – продолжительность работы di, в нижнем – полный запас времени zi.