1.2 Примеры

Пример 1. А – множество делителей числа 15; В – множество простых чисел, меньших 10; С - множество четных чисел, меньших 9. Описать каждое множество перечислением. Найти: АВ, АС, ВС,

(АС)В, АВС.

Решение

Исходя из условия находим А=1;3;5;15,B=2;3;5;7, C=2;4;6;8. Тогда AB=1;2;3;5;7;15, BC=2, AC=, AC=1;2;3;4;5;6;8;15, (AC)B=2;3;5, ABC=.

Пример 2. В группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык, 45 – французский, 25 человек знают оба языка. Сколько туристов не знают ни английского, ни французского языка?

Решение

Пусть A – множество туристов, знающих английский язык, F – французский. По условию А=70, F=45, количество туристов, знающих оба языка, равно AF=25. Множество туристов, знающих хотя бы один язык – это следующее AF. Тогда по формуле находим AF=A+F-AF=70+45-25=90. Так как всего туристов 100, а из них знают хотя бы один язык 90, то не знают ни английского, ни французского языка 100-90=10 туристов.

1.3 Варианты задачи №1

Найти для вариантов 1 – 10.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Изобразить на координатной плоскости множества для вариантов 11 – 26.

Условие, которому удовлетворяют координаты точек, принадлежащих множеству
	А	В
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.

Найти для вариантов 27 – 30.

27. U – множество целых чисел, A – множество четных чисел, B – множество чисел, которые кратны 4.

28. U – множество натуральных чисел, A – множество нечетных чисел, B – множество корней уравнения .

29. , А – множество простых чисел, В – множество корней уравнения .

30. , А – множество составных чисел, В – множество степеней числа 2.

1.4 Варианты задачи №2

Доказать тождества

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

Доказать, что

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .

2 Отношения

2.1 Основные понятия и формулы

Если а и b – объекты, то через (а, b) обозначим упорядоченную пару. Равенство упорядоченных пар определяется следующим образом:

(a, b)=(c, d) тогда и только тогда, когда a=b и c=d.

Прямым (декартовым) произведением множеств А и В называется множество упорядоченных пар

А В ={(a , b): a A, b B}.

Аналогично определяется упорядоченная n-ка эелементов и декартово произведение n множеств.

n-ой степенью множества А называется его прямое n-кратное произведение на себя и обозначается так: .

Бинарным отношением между элементами множеств A и B называется любое подмножество R множества А B. Если А=B, то отношение называется бинарным отношением на A. Вместо (x,y) R часто пишут xRy.

Областью определения бинарного отношения R называется множество

= {x: существует y такое, что (x,y) R}.

Областью значений бинарного отношения R называется множество

= {y: существует x такое, что (x,y) R}.

Для бинарных отношений определены обычным образом теоретико-множественные операции объединения, пересечения и т.д.

Дополнением бинарного отношения R между элементами A и B называется отношение =(A B) \ R.

Обратным отношением для бинарного отношения R называется отношение R ^-1={(x,y): (y,x) R}.

Композицией (произведением) отношений R₁ и R₂ называется отношение R₁ R_n ={(x,y): существует z такое, что (x,z) R₁ и (z,y) R₂}.

Пусть и множество A состоит из n элементов, пронумеруем их. Тогда элементы бинарного отношения R можно представить матрицей ||R|| порядка n n такой, что ее элементы r_ij находятся из условия:

Элементы r_ij матрицы ||R|| композиции отношений P и S, т.е. , определяются следующим образом: .

Здесь и - логические операции: дизъюнкция и конъюнкция соответственно.

Бинарное отношение R на множестве A называется рефлексивным, если

(x, x) R для всех x A,

иррефлексивным (антирефлексивным), если

(x, x) R для всех x A.

Бинарное отношение R на множестве A называется симметричным, если для всех х, у A:

из того, что <x, y> R, следует <y, x> R,

антисимметричным, если для всех х, у A :

из того, что <x, y> R и <y, x> R, следует x=y.

Бинарное отношение R на множестве A называется транзитивным, если для всех х, у, z A:

из того, что <x, y> R и <y, z> R, следует <x, z> R.

Рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение на множестве A называется эквивалентностью на A.

Бинарное отношение R на множестве A называется предпорядком на A, если оно рефлексивно и транзитивно. Рефлексивное, транзитивное и антисимметричное отношение на множестве A называется частичным порядком на A. Частичный порядок часто обозначается символом ≤ . Пишут: x<y, если x≤ y и x≠ y. Частичный порядок ≤ на множестве A называется линейным, если любые два элемента из A сравнимы по отношению ≤ , т.е. x≤ y или y≤ x для любых x, y A. Множество A с заданным на нем частичным (линейным) порядком ≤ называется частично (линейно) упорядоченным.

Транзитивным замыканием R⁺ отношения R является объединение всех его положительных степеней, т.е. R⁺= . Под n-ой степенью отношения R понимается его n-кратная композиция с самим собой, т.е. .