2.2 Примеры
Пример 1. На множестве А={1, 2, 3, 4, 5}
задано отношение R ={(x;
y): x < y}.
Найти область определения, область
значений R. Задать матричным
способом R -1;
;
.
Указать свойства отношения.
Решение
Укажем сначала все упорядоченные пары элементов множества А, которые принадлежат отношению R: R = {(1, 2), (1. 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)}.
Область определения отношения = {1, 2, 3, 4}, область значений отношения = {2, 3, 4, 5}.
={(у; х): (x; y)
R }={(x; y):
y<x}={(x;
y): x>y}.
={(х; у): (x; y)
R }={(x; y):
x
y}
Матрицы отношений R, R -1; и представлены ниже:
;
;
;
.
Поясним способ определения элементов
rij
матрицы
композиции отношения R с
самим собой, изложенный выше в 2=.1, на
нескольких примерах :
;
;
.
Аналогично определены и остальные элементы матрицы .
Отношение R является антирефлексивным, так как для любого элемента x R не выполняется условие x<x.
Отношение R - несимметрично, так как для любых x, y А из того, что x<y, не следует, что y<x.
Отношение R обладает свойством антисимметричности. Оно также и транзитивно, так как для любых x, y, z А, если x<y и y<z, значит x<z.
Пример 2. Найти транзитивное замыкание отношения R, заданного на множестве А={1, 2, 3}. Матрица отношения имеет вид
.
Решение
Найдем матрицы положительных степеней отношения. Результаты занесем в таблицу 1.
Таблица 1 - Степени отношения R
Номер степени отношения |
Матрица степени отношения |
Степень отношения |
1 |
2 |
3 |
Первая |
|
R ={(1, 2), (2, 3), (3, 2)}
|
Вторая |
|
R2= {(1,3), (2, 2), (3, 3)} |
Третья |
|
R3= {(1, 2), (2, 3), (3, 2)} |
Четвертая |
|
R4= {(1,3), (2, 2), (3, 3)} |
Для данного отношения характерно равенство всех нечетных степеней друг другу и равенство четных степеней. Объединим степени отношения, в результате чего получим транзитивное замыкание отношения R+={(1, 2), (1,3), (2, 2),(2, 3), (3, 2), (3, 3)}.
2.3 Варианты задачи №3
Дано множество M={1; 2, 3; 4,
5, 6} и бинарное отношение
.
Найти область определения, область
значений R. Задать матричным
способом R -1;
;
-1;
-1
.
Указать свойства
(рефлексивность, антирефлексивность,
симметричность, антисимметричность,
транзитивность). Для нетранзитивного
отношения найти транзитивное замыкание.
= {( a; b): a - b = 3, а, b
}.= {( a; b): a > 2b, а, b }.
= {( a; b): a + b > 5, а, b }.
= {( a; b): a при делении на b дает в остатке 1, а, b }.
= {( a; b): a делитель b, а, b }.
= {( a; b): a и b имеют одинаковые остатки от деления на 3, а, b }.
= {( a; b): a + b – четное, а, b }.
= {( a; b): a +b+1 M, а, b }.
= {( a; b): 3a
b, а, b
}.= {( a; b): a = b2 или а+3=b, а, b }.
= {( a; b):
или a
= b2
, а, b
}.= {( a; b): |b-1| = |a-3|, а, b }.
= {( a; b): a делится на b без остатка и а – четно, а, b }.
= {( a; b): |a – b| = 3, а, b }.
= {( a; b): b = 2a + 1, а, b }.
= {( a; b): a = 3b ± 1, а, b }.
= {( a; b):
M,
а, b
}.= {( a; b): a+1 b, а, b }.
= {( a; b): a – остаток от деления b на 5, а, b }.
= {( a; b): a делит b или b делит a, а, b }.
R= {( a; b): b – остаток от деления a на 3, а, b }
R= {( a; b): |a – b| 3, а, b }
R= {( a; b): a делится на b без остатка и b – нечетно, а, b }
R= {( a; b): b = 2a - 1, а, b }
R= {( a; b): a = 3b + 1, а, b }
R= {( a; b):
M,
а, b
}R= {( a; b): a – остаток от деления b на 4, а, b }
R= {( a; b): |3 - b| < |a + 2|, а, b }
R= {( a; b): a – b + 2 M, а, b }
R= {( a; b): b = 5a - 1, а, b }
