2.2. Позиционные и непозиционные системы счисления.

Самый простой счет – это счет двойками. В этом счете за основу взято число два. Две единицы образуют уже второй разряд – разряд двоек, две двойки – это третичный разряд – разряд четверток. Следующий разряд – это восьмерки и т. д.

Число в двоичной системе изображается только двумя цифрами – единицей и нулем. Единица второго разряда – это два. Единица третьего разряда – это четыре, так как 2x2=4, единица четвертого разряда – восемь, так как 2х2х2=8, пятого – 9х2=16 и т. д.

В двоичной системе число 101 – это не сто один. В этом числе последняя цифра – разряд единиц – один. Нуль показывает, что второго разряда, то есть двоек, нет. Первая в числе единица – это единица третьего разряда, т.е. четвертка, следовательно, 101 – это 4+0+1=5. А в числе 1110 по двоичной системе, единиц – нуль, то есть, их нет. Во втором разряде – одна двойка, в третьем разряде – одна четвертка, в четвертом – цифра1 означает, что в этом случае ее надо принять за 8.

Все число составит 8+4+2+0=14

В прошлом некоторые народы продолжительное время при счете применяли двоичную систему счисления. Например, в Австралии были племена, которые считали так: один – это «энэа», два – «петчевал», три – «петчевал-энэа», т.е. два и один, четыре – «петчевал-петчевал», (два и два).

Первоначально и в древнем Египте считали двойками, что подтверждают записи в более древних папирусах.

Счет двойками в наше время сыграл большую роль при создании электоронно-вычислительных машин. Все первые электронно-вычислительные машины работали на двоичной системе счета. Теперь в таких машинах используют не только двоичную, но и другие системы счисления, что позволяет увеличить скорость действия машин. Вычисления в двоичной системе счисления самые простые. Но они требуют длинных записей, на что тратиться много времени.

Пятеричная и десятеричная системы счисления.

Считать можно по-разному. Например, сосчитал до 5 – загни палец правой руки. Сосчитал еще пять предметов – загни второй палец той же руки и т. д. Когда все пальцы руки загнуты, то загибают один палец на левой руке, а пальцы правой руки разгибают. Дальше счет продолжают снова, загибая своей правой руки или другого человека. Пять согнутых пальцев правой руки означают 5х5=25, три загнутых пальца левой руки выражают число 25х3=75, пять пальцев той же руки означают число 25х5=125, такой способ счета называют пятеричным, так как в его основе лежит число пять.

Современная десятичная система счета сложилась несколько тысячелетий назад одновременно у многих народов. В основе этой системы оказалась десятка благодаря тому, что у человека на руках 10 пальцев, которыми при счете он постоянно пользовался. Однако некоторые народы в древности пользовались смешанной пятерично-десятнричной системой счисления. Примером, подверждающим это, служит римская нумерация. В римской нумерации имеются особые знаки: цифры, для обозначения пяти – V, десяти – Х, пятидесяти – L, ста – С, пятисот – D.

Двоичная и троичная системы счисления.

Особый интерес представляет двоичная система счисления. В ней используются только два знака для записи чисел, а именно цифры 0 и 1. Приводим таблицу чисел натурального ряда в двоичной системе счисления.

Десятеричная система счисления Двоичная система счисления

1. 1

2. 10

3. 11

4.  100

5.  101

6.  110

7.  111

8. 1000

9. 1001

10. 1010

11. 1011

12. 1100

В этой системе счисления совсем просто выполняются действия. Рассмотрим, например, сложение следующих чисел: 100101

10011

11101

101001

110011

___________

10110001

Как видим, эта операция выполняется очень легко. Так же легко выполняются остальные действия. Единственный недостаток этой системы – громоздкость записи чисел.

В современной вычислительной технике в устройствах автоматики и связи широко используется двоичная система счисления. Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутренне представление любой информации в компьютере является двоичным, т.е. описываемым наборами только из двух знаков (0 и 1).

Конкретизирую описанный выше способ в случае перевода чисел из десятичной системы в двоичную. Целая и дробная части переводится порознь. Для перевода целой части (или простого целого числа) необходимо разделить ее на основание системы счисления и продолжать делить частные от деления до тех пор, пока частное не станет равным 0. значения получившихся остатков, взятые в обратной последовательности, образуют искомое двоичное число. Например:

25:2=12(1),

12:2=6(0),

6:2=3(0),

3:2=1(1),

1:2=0(1).

Таким образом, 25₍₁₀₎=11001₍₂₎

Для перевода дробной части (или числа, у которого «0» целых) надо умножить ее на 2. целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем, отбрасывая у результата целую часть, вновь умножаем на 2 и т. д. заметим, что конечная десятичная дробь при этом вполне может стать бесконечной (периодической) двоичной. Например:

0,73х2=1,46 (целая часть 1),

0,46х2=0,92 (целая часть 0),

0,92х2=1,84 (целая часть 1),

0,84х2=1,68 (целая часть 1), и т. д.

В итоге: 0,73₍₁₀₎=0,1011…₍₂₎

Над числами, записанными в любой системе счисления, можно производить различные арифметические операции. Так, для сложения и умножения двоичных чисел необходимо использовать эти таблицы.

Таблицы сложения и умножения в двоичной системе.

Заметим, что при двоичном сложении 1+1 возникает перенос единицы в старший разряд – точь-в-точь как в десятичной арифметике:

Перевод чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную производится (по аналогии с двоичной системой счисления) с помощью делений и умножений на 8. Например, переведем число 58,32₍₁₀₎

58:8=7 (2 в остатке)

7:8=0 (7 в остатке)

0,32х8=2,56

0,56х8=4,48

0,48х8=3,84… Таким образом, 58,32₍₁₀₎=72243…₍₈₎ (из конечной дроби в одной системе может получиться бесконечная дробь в другой).

Перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную производится аналогично.

С практикой точки зрения представляет интерес процедура преобразования двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел. Для этого воспользуемся таблицей чисел от 0 до 15 (в десятичной системе счисления), представленных в других системах счисления.

Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное необходимо разбить его справа налево на группы по3 цифры (самая левая группа может содержать менее трех двоичных цифр),а затем каждой группе поставить в соответствие ее восьмеричный эквивалент. Например:

11011001=11011001, т.е. 11011001₍₂₎ =331 ₍₈₎

Заметим, что группу из трех двоичных цифр часто называют «двоичной триадой».

Перевод целого двоичного числа в шестнадцатеричное производится путем разбиения данного числа на группы по 4 цифры – «двоичные тетрады»:

1100011011001=1100011011001, т.е. 1100011011001₍₂₎=1809₍₁₆₎

Для перевода дробных частей двоичных чисел в восьмеричную или шестнадцатеричную системы аналогичное разбиение на тирады или тетрады производится от точки вправо (с дополнением недостающих последних цифр нулями):

01100011101₍₂₎=0,110001110100=0,6164₍₈₎,

01100011101₍₂₎=0,110001110100=0,674₍₁₆₎

Перевод восьмеричных (шестнадцатеричных) чисел в двоичные производится обратным путем – сопоставлением каждому знаку числа соответствующей тройки (четвертки) двоичных цифр.

Преобразования чисел из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы столь просты (по сравнению с операциями между этими тремя системами и привычной нам десятичной) потому, что числа 8 и 16 являются целыми степенями числа два. Этой простотой и объясняется популярность восьмеричной и шестнадцатеричной систем в вычислительной технике и программировании. Это особенно верно применительно к налогообложению, где различие между налоговой системой (налоговым законодательством, налоговой политикой) и налоговым администрированием (институтом налоговой службы) провести не так просто, как в других областях экономической политики. Хорошее налоговое администрирование – это хорошая налоговая политика. Самая лучшая налоговая политика, которая «не работает», поскольку налоговое администрирование не способно провести ее в жизнь, - заслуживает низкой оценки. Какие бы реформы ни проводились в налоговом администрировании, важно всегда учитывать возможное влияние этих реформ на налоговую политику и на другие элементы фискальной системы. Налоговая система основывается на законодательстве, определяющем налоговую политику и гражданские правоотношения, и налоговом администрировании. [11;30]

Арифметические действия с числами в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления выполняются по аналогии с двоичной и десятичной системами. Для примера, эта таблица иллюстрирует сложение и умножение восьмеричных чисел.

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

х	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	10	12	14	16
3	0	3	6	11	14	17	22	25
4	0	4	10	14	20	24	30	34
5	0	5	12	17	24	31	36	43
6	0	6	14	22	30	36	44	52
7	0	7	16	25	34	43	52	61

Есть еще один способ пе5ревода чисел из одной системы счисления в другую – метод вычитания степеней. В этом случае из числа последовательно вычитается максимально возможный коэффициент, меньший основания; этот коэффициент и является значащей цифрой числа в новой системе. Например, число 114₍₁₀₎: 114-2⁶=114-64=50,

50-2⁵=50-32=18

18-2⁴=2

2-2¹=0

Таким образом, 1141₍₁₀₎=1110010₍₂₎ 114-1х8²=114-64=50

50-6х8¹=50-48=2

2-2х8⁰=2-2=0

Итак: 114₍₁₀₎ =162₍₈₎

Десятичная Соответствие чисел в различных системах счисления.

	Шестнадцатеричная	Восьмеричная	Двоичная
0	0	0	0
1	1	1	1
2	2	2	10
3	3	3	11
4	4	4	100
5	5	5	101
6	6	6	110
7	7	7	111
8	8	10	1000
9	9	11	1001
10	А	12	1010
11	Б	13	1011
12	С	14	1100
13	Д	15	1101
14	Е	16	1110
15	F	17	1111

Как уже отмечалось, для сложения умножения однозначных чисел в позиционных системах составляются соответствующие таблицы. Они используются как при вычитании и делении однозначных чисел, так и при действиях с многозначными числами.

Составим, например, таблицу сложения однозначных чисел в троичной системе счисления. Однозначные числа в ней – это 0,1,2. Число 3 записывается 10₃. Число 4₍₁₀₎ имеет вид 11₃, так как 4₁₀ =1х3+1=11₃.

Аналогичным образом находим запись и других чисел в троичной системе. Таблицу сложения удобно представить в таком виде, где на пересечении стоки и столбца стоит сумма.

х	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	10
2	2	10	11

Используя эту таблицу, можно складывать любые числа в троичной системе счисления. Например, 1221₃ +122₃ =2121₃, в то время как, выполнив сложение «столбиком», получаем: ₊1221

122

2120

Этой же таблицей можно пользоваться, выполняя вычитание чисел в троичной системе счисления: _-2110

212

1121

Таблица умножения однозначных чисел в троичной системе вид:

Х	0	1	2
0	0	0	0
1	0	1	2
2	0	2	11

На основе этой таблицы и таблицы сложения выполняют умножение многозначных чисел. Найдём, например, произведение 122 х 22:

122

22

1021

1021

10231

Отметим, что сложение полученных неполных произведений выполняется в третичной системе счисления. Опираясь на эту таблицу, выполняют деление чисел, записанное в троичной системе счисления, например: 10011 12

12 122

111

101

101

101

0. 10011 : 12 = 122

Из вышеуказанного известно, что римская система относится к непозиционным системам счисления. В этой системе счисления имеются знаки для узловых чисел: единица обозначается – I, пять – V, пятьдесят – L, сто – C, пятьсот – D, тысяча – М. Все остальные числа получаются при помощи двух арифметических операций: сложения и вычитания. Вычитание производится тогда, когда знак, соответствующий меньшему узловому числу, стоит перед знаком большего узлового числа. Например, IV – четыре, ХС – девяносто. Запишем несколько чисел в римской нумерации. 193 – это сто (С) плюс девяносто, т.е. сто без десяти (ХС), плюс три (III), следовательно, число 193 записывается как СХСIII.

564 – это пятьсот (D) плюс пятьдесят (L) плюс десять (Х) плюс четыре, т.е. пять без одного (IV). Следовательно, число 564 записывается DLXIV, а число 2708 – MMDCCVIII. Если число содержит несколько (немного) тысяч, то для его записи в римской нумерации пользуются повторением знака М. Вообще же числа четырех-, пяти-, и шестизначные записывались с помощью буквы m (от латинского слова mille – тысяча), слева от которой записывали тысячи, а справа – сотни, десятки, единицы. Так, запись CXXXIIImDCCCXLII является записью числа 133842.

В России доXVII в. В основном употреблялась славянская нумерация, более стройная и удобная, чем римская, но тоже непозиционная. В ней числа изображались буквами славянского алфавита, над которыми для отличия ставили особый знак – титло.

Естественно, что такие системы записи чисел, как римская и славянская, были удобнее, чем зарубки на бирках, поскольку позволяли записывать большие числа. Однако, выполнение действий над ними в таких системах было весьма сложным делом. Поэтому на смену им пришла десятеричная система счисления.