2.3. Методика ознакомления младших школьников с нумерацией многозначных чисел и системой счисления.

Нумерация многозначных чисел и действия над ними выделяются в особый концентр потому, что нумерация чисел за пределами 1000 имеет свои особенности: многозначные числа образуются, называются, записываются с опорой не только на понятие разряда, но и на понятие класса. Необходимо раскрыть это важнейшее понятие нашей системы счисления.

Арифметические действия над многозначными числами выполняются с использованием как устных, так и письменных приемов вычислений – одна из основных задач изучения действий над многозначными числами.

Порядок изучения вопросов в концентре «Многозначные числа» такой: нумерация, сложение и вычитание, умножение и деление.

Основные задачи учителя при изучении темы «Многозначные числа» - сформировать понятие о новой счетной единице – тысяче как единице второго класса; опираясь на понятие класса, научить читать и записывать многозначные числа; обобщить знания детей о нумерации целых неотрицательных чисел.

На этапе подготовки к изучению темы необходимо закрепить знания детей о соотношении известных им разрядных единиц, о десятичном составе трехзначных чисел, о натуральной последовательности чисел в пределах 1000, о принципах записи трехзначных чисел. С этой целью на уроках, предшествующих изучению нумераций многозначных чисел, включают такие задания:

1. Сколько единиц в одном десятке, сколько десятков в одной сотне. Не сколько одна сотня меньше тысячи, во сколько раз десяток большие единицы, во сколько раз десяток меньше сотни, как по-другому называется десяток миллиметров, сотня сантиметров и т. п.?

2. Какое число состоит из 7 сотен 5 десятков; из 2 единиц III разряда, 2 единиц II разряда и 2 единиц I разряда? Сколько единиц каждого разряда в числе 995? Сколько в нем всего единиц, сколько всего десятков? Замените число 380 (308, 388) суммой разрядных слагаемых.

3. Присчитывайте (отсчитывайте) по 1 (по 10,50,100), начиная с числа 500; назовите число, следующее при счете после числа 199, предшествующее числу 300.

4. Запишите число 909. Сколько всего цифр потребовалось для записи? Сколько различных цифр использовано? Что обозначает каждая цифра? Запишите этими же цифрами другое число. Что теперь обозначает цифра 0 (отсутствие единиц первого разряда)? Запишите с помощью цифры 8 трехзначное число. Что обозначает цифра 8, стоящая в числе на первом (втором, третьем) месте справа?

При повторении нумерации чисел в пределах 1000 целесообразно упражнять детей в обозначении чисел на счетах.

Полезно заранее сообщить детям о том, что они скоро будут учиться считать до миллиона и записывать многозначные числа, предложить несколько устных заданий на присчитывание с выходом за 1000. Это способствует появлению интереса у детей к данной теме, активизирует их познавательную деятельность.

Изучение нумерации многозначных чисел начинают с того, что повторяют, как можно получить тысячу. Присчитывая по одному, начиная, например, с числа 995, учащиеся выписывают ряд чисел до 1000 включительно и устанавливают, что после наибольшего трехзначного числа идет первое, самое маленькое четырехзначное число – 1000. Используя счеты, повторяют также образование разрядных единиц в результате группировки предшествующих, более мелких единиц (10ед.= 1дес.; 10 дес.=1сот.; 10сот.=1 тыс.).

Основными наглядными пособиями являются счеты и нумерационная таблица (таблица разряда классов). Полезно эти пособия иметь не только для обще классного, но и для индивидуального пользования.

Учитель объясняет, что тысячи можно считать как простые единицы (1 тыс., 2 тыс. и т.д.) и группировать их в десятки и сотни. Используя счеты, ведут счет единиц тысяч до 10 тысяч, которые заменяют 1 десятком тысяч и, получив 10 десятков тысяч, заменяют их 1 сотней тысяч, наконец, считают сотни тысяч до 10 и заменяют 10 сотен тысяч 1 миллионом. Целесообразно образование новых разрядных единиц зафиксировать в записи:

10ед.тыс.= 1дес.тыс., 10дес.тыс.= 1сот.тыс., 10сот.тыс.= 1млн., расположение ее столбиком рядом с предыдущими записями.

Затем идет работа с нумерационной задачей, в которой обозначены названия всех разрядных единиц от единиц до сотен тысяч. Учитель дает пояснение (или дети читают по учебнику) о том, что единицы, десятки и сотни образуют I класс, или класс единиц, а единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч образуют II класс, или класс тысяч (соответствующие записи вносятся в таблицу). Полезно затем сравнить I и II классы и установить их сходство и различие: в каждом классе по три разряда в 10 раз больше предыдущей, но в I считают и группируют единицы, а во II классе – тысячи.

Далее изучают числа II класса (круглые тысячи). Начать работу можно с изображения чисел на счетах. Дети вспоминают, где на счетах откладывают единицы, десятки, сотни (т.е. числа I класса), а где – единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч (числа II класса). Помочь детям запомнить расположение на счетах разрядных единиц можно так: на вертикальную планку счетов прикрепить бумажную полоску с номерами классов и разрядов. Сначала учащиеся обозначают на счетах числа I класса (например, 7,97,697,600 и т.п.), а затем – числа II класса (7тыс., 47тыс., 547тыс.). Последнее упражнение можно повторить, отложив на счетах числа «потруднее»: 670тыс., 600тыс. и т. д.

Аналогичная работа может быть проведена по нумерационной таблице, (начерченной на доске и в тетрадях или данной в учебнике), но основное внимание теперь надо обратить на особенности записи чисел II класса. На этом этапе рассматривается также десятичный состав чисел II класса: «Назовите число, в котором 3 сотни тысяч и 5 десятков тысяч (3 сотни тысяч и 5 единиц тысяч). Сколько единиц каждого разряда в числе 782 тыс.? сложите числа 500000+40000+8000; замените число 675000 суммой разрядных слагаемых.

В результате выполнения таких упражнений учащиеся придут к обобщению: числа II класса образуются из тысяч точно так же, как числа I класса из единиц; при чтении чисел II класса добавляют слово «тысячи», а на письме пишут в классе тысяч, то есть пишут цифрами на четвертом, пятом, шестом местах, считая справа налево.

На следующем этапе приступают к изучению нумерации многозначных чисел, состоящих из единиц первого и второго класса. Первые упражнения можно провести, используя нумерационную таблицу.

На уроках при изучении нумерации важно использовать материал, взятый из жизни, характеризующий развитие нашей страны и братских стран, достижения в завоевании космоса. С этой целью полезно организовать сбор детьми интересных числовых данных с записью их в индивидуальные или общеклассные справочники.

Далее, дети не только учатся читать и записывать многозначные числа в пределах миллиона, но и более подробно останавливаются на десятичной составе чисел, а также на их натуральной последовательности. Все эти вопросы рассматриваются во взаимосвязи.

На следующем этапе переходят к закреплению знаний и умений учащихся. Закреплению знаний по нумерации помогают упражнения в преобразовании натуральных чисел и величин – замена мелких единиц крупными и обратно, замена мелких единиц крупными и обратно, замена крупных единиц мелкими. В начале эти задания выполняются на основе нумерации, а потом уже способы преобразований обобщаются в виде правил.

Например: 50=5дес., 100=10дес., 120=10дес.+2ед.=12дес.

Сравнивая числа, дети делают вывод, чтобы выразить в десятках круглое число, надо отбросить в нем справа один нуль. Так же можно подвести детей к выводу о замене единиц сотнями (отбросить в числе справа три нуля). Аналогично учащиеся подводятся к выводу о том, как произвести обратное преобразование, то есть как заменить десятки, сотни и тысячи простыми единицами (к числу десятков надо приписать справа один нуль, к числу сотен – два, к числу тысяч – три нуля).

Заканчивая работу над темой, целесообразно систематизировать знания детей по нумерации. С этой целью можно предложить учащимся охарактеризовать какое-либо данное многозначное число, например, 9409.

Понимать происхождения математических понятий, роли и значения математического метода исследования реального мира является необходимым условием сознательного и глубокого усвоения детьми школьной программы по математике. Уроки по учебнику Л.Г. Петерсон (2 кл.) обладают также огромными возможностями эмоционального воздействия на детей, организации их творческой деятельности и формирования познавательных интересов.

Формы проведения этих уроков могут быть самыми разнообразными, однако они пройдут тем успешнее, чем активнее дети будут включены в исследовательскую творческую деятельность. Например, как уже отмечалось, можно предложить им заранее (примерно за 1-2 недели до изучения данной темы) прочитать текст учебника на стр. 46-58, а затем за несколько дней до уроков разбить этот текст на части и распределить между учениками для пересказа. Тогда рассказчиком будет не учитель, а сами дети. При этом рассказ может дополняться в ходе обсуждения различной информацией, которую учитель и дети с помощью родителей найдут в книгах, журналах, энциклопедиях – любой популярной литературе по истории математики. На этих уроках уместно использование соответствующих таблиц, иллюстраций, диапозитивов, фрагментов учебных кинофильмов и даже инсценировок. С большим интересом обычно дети выполняют задания по содержанию тем, например:

- назовите число 21, пользуясь папуасскими названиями «окоза» и «урапун»;

- изобразите равенства 3+2=5 и 6-2=4 с помощью сложения и вычитания совокупностей предметов;

- запишите число 1 328 в египетской системе записи чисел;

- запишите арабскими цифрами число, записанное в вавилонской нумерации (60х2+34=120+34=154)

- запишите арабскими цифрами числа: XXXIV, CXVIII, DCXXIX, CMLXVII (34, 128, 629, 967).

- запишите римскими цифрами: 23, 48, 154, 56, 75, 139, 164,421,973

(XXXII, XLVIII, LVI, LXXV, CXXXIX, CLXIV, CDXXI,CMLXXIII).

Для подготовки детей к изучению многозначных чисел проводится игра «Путешествие во времени». Для этой игры каждый ребенок должен подготовить набор цифр от 0 до 9. К доске выходят три ученика (например, Саша, Лена, Таня). Класс на «машине времени» переносится в те времена, когда люди считали предметы с помощью пальцев. Учащиеся у доски – «счетчики». Определяется их порядок справа налево, например:

III II I

Саша – Лена - Таня

считает сотни считает десятки считает

единицы

Значит, пальцы Тани будут обозначать число единиц, пальцы Лены – число десятков, а Сашины пальцы – число сотен. Чтобы всему классу было понятно, сколько пальцев согнуто у каждого счетчика, надо условиться вместо непосредственного загибания пальцев показать соответствующую цифру (например, если Тане надо загнуть три пальца, то она показывает цифру 3). Учитель или кто-либо из учеников предлагает «папуасский» вариант чтения чисел, а учащиеся должны перевести его на современный язык. Так, если учитель называет число: 8 пальцев Саши, 2 пальца Лены, 5 пальцев Тани, то «счетчики» показывают карточки: 8, 2, и 5, а учащиеся класса читают число: восемьсот двадцать пять.

На 16-м уроке можно предложить учащимся моделирование чисел в пределах миллиона. Опишу примерный ход игры:

- назовите число: 6 пальцев Саши, 3 пальца Лены, 9 пальцев Тани (639).

- увеличьте его на 1. Сколько пальцев должны загнуть Саша, Лена и Таня? (Таня показывает число 10 и условно «передает» 1 десяток Лене, оставляя себе 0. Лена заменяет число 3 числом 4, а Саша продолжает показывать 6. Получается число 640).

- назовите число 8 пальцев Саши, 9 пальцев Саши, 9 пальцев Лены и 9 пальцев Тани (899).

- увеличьте его на 1(повторяется процесс наполнения соответствующих разрядов 10 единицами и увеличения следующего старшего разряда на 1, Получается число 900).

- какое самое большое число могут показать Саша, Лена и Таня? (999). Какое число ему предшествует? (998). Какое число за ним следует? (Повторяется процесс наполнения каждого разряда 10 единицами, однако Саше некому передать единицу высшего разряда). Поэтому вызывается еще 1 ученик и они вчетвером показывают 1 000. Таким же образом продолжается рассмотрение четырехзначных, пятизначных и шестизначных чисел, например:

5 763, 9 999, 10 000, 24 999, 25 000, 99 999, 100 000, 386 903.

На 17-м уроке игра продолжается. Аналогично рассматриваются несколько шестизначных чисел. А потом учитель ставит вопрос – что делать. Если будут заполнены все разряды, включая сотни тысяч? Вводятся один за другим счетчики для миллионов, десятков миллионов, сотен миллионов, затем для миллиардов, десятков миллиардов, сотен миллиардов. Очевидно. Что для чтения чисел, которые показывают счетчики, надо назвать. Сколько в этих числах миллиардов, миллионов, тысяч и единиц. Чтобы легче было называть числа. Дети обычно предлагают счетчикам сгруппироваться по три. Появляются классы – единицы, тысячи, миллионы и миллиарды:

Счетчики показывают цифры в своих разрядах, а остальные учащиеся называют все число, например: 4 352 716, 9 999 999, 10 000 000, 57 000 820, 99 999 999, 100 000 000, 386 079 999, 386 080 000, 999 999 999, 1 000 000 000, 35 912 042 140, 709 566 000 015 и др.для этих чисел можно обсуждать вопросы, аналогичные тем, которые ставились на предыдущем уроке.

Таким образом, игра поможет учащимся еще до введения многозначных чисел освоить соответствующую терминологию, структуру многозначных чисел, переход из одного разряда в другой. Здесь же можно обсудить с ними еще 2 важных момента:

1. Одна и та же цифра в разных разрядах обозначает разные числа.

2. Отсутствующие разряды необходимо обозначать нулями. Например, если в числе 709 566 000 075 убрать нули (учащиеся с цифрой 0 отходят в сторону), то все разряды сместятся и полученное новое число 7 956 675 выражает совершенно другое количество.

Игру «Путешествие во времени» можно использовать в дальнейшем на всех уроках по нумерации многозначных чисел, меняя местами « счетчиков» (тех, кто показывает числа) и «путешественников» (тех, кто их называет).

Итак, на данных уроках у детей не только формируется представление об основных этапах развития понятия числа, но и готовится изучение следующей темы – многозначные числа. Здесь можно также предложить учащимся творческие работы: написать небольшие рефераты, сделать рисунки. Дополнительный материал исторического характера можно найти в указанной выше книге Н.Я. Виленкина, И.Я. Депмана «За страницами