2.8.Основные теоремы о дифференцируемых функциях
Определение.
Функция
у
=
f
(x)
имеет (или достигает) в точке а
локальный
максимум (минимум), если найдется такая
окрестность
точки
а,
что для всех
:
Теорема Ферма. Пусть функция у = f (x) дифференцируема в точке а и имеет в этой точке локальный экстремум. Тогда (а) = 0.
Теорема Ролля. Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема в интервале ( а, b ) и f (a) = f ( b) , то в интервале (а, b ) найдется хотя бы одно значение х = с, при котором (с) = 0.
Если, в частности, f ( a) = 0, f ( b) = 0, то теорема Ролля означает, что между двумя корнями функции содержится хотя бы один корень ее производной.
Теорема Лагранжа (о конечном приращении). Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, b] и дифференцируема в интервале ( а, b ), то в этом интервале найдется хотя бы одно значение х = ξ, при котором выполняется равенство
f
(b)
– f
(a)
= ( b
– a
)
(ξ).
Геометрическая интерпретация этих теорем такова: на некоторой дуге непрерывной кривой y = f (x) , имеющей в каждой внутренней точке определенную касательную (не параллельную оси Оу), найдется хотя бы одна внутренняя точка, в которой касательная параллельна соответствующей хорде . (Для теоремы Ролля и хорда, и касательная параллельны оси Ох.)
Признак постоянства функции. Если во всех точках некоторого промежутка (х) = 0, то функции f (х) в этом промежутке сохраняет постоянное значение.
Теорема
Коши.
Если
функции f
(х)
и φ
(х)
непрерывны на отрезке [а,
b]
и дифференцируемы в интервале ( а,
b
), причем
,
то
в этом интервале найдется хотя бы одно
значение х
= ξ,
при
котором
,
где
a
<
ξ
< b.
Пример.
Удовлетворяет ли функция
условиям теоремы Ферма на отрезке
?
Решение. Заданная функция условиям теоремы Ферма не удовлетворяет, так как она монотонно возрастает на отрезке и, следовательно, принимает наименьшее значение при и наибольшее значение при , т. е. не во внутренних точках отрезка . Поэтому теорема Ферма неприменима, а именно: нельзя утверждать, что
.
В самом деле,
и
,
.
Пример.
Удовлетворяет
ли условиям теоремы Ролля функция
на отрезке
?
Решение.
Функция непрерывна на
отрезке
,
кроме того,
.
Значит, два условия теоремы Ролля
выполнены.
Найдем производную функции :
.
Производная
существует на промежутке
.
Так как точка
внутренняя точка отрезка, то последнее
условие теоремы Ролля не выполнено.
Поэтому теорема Ролля к функции
неприменима. И действительно,
0
на отрезке
.
Пример.
Проверить, что функции
и
удовлетворяют условиям теоремы Коши
на отрезке
и найти соответствующее значение ξ.
Решение.
Функции
и
определены и непрерывны на промежутке
,
а следовательно, и на отрезке
.
Найдем производные данных функций:
;
.
Производные
конечны, производная
не обращается в нуль ни при одном
действительном значении х.
Таким
образом, формула Коши к функциям
и
применима:
.
Так как
,
,
,
,
,
,
то
при
получим
.
Из
найденных значений
не является внутренней точкой.
Следовательно,
.
Пример.
Удовлетворяет
ли функция
условиям теоремы Лагранжа
на отрезке
?
Если да, то найти соответствующее
значение ξ.
Решение. Функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, так как она определена и непрерывна на отрезке и имеет конечную производную в каждой внутренней точке отрезка. По теореме Лагранжа
f (b) – f (a) = ( b – a ) (ξ)
с учетом того, что
и
,
получим
.
Следовательно,
.
Упражнения
1.
Удовлетворяет ли функция
условиям теоремы Ферма на отрезке
?
2.
Удовлетворяет ли условиям теоремы Ролля
функция
на отрезке
?
3.
Проверить справедливость теоремы Ролля
для функции
на отрезке
.
4.
Применить формулу Лагранжа к функции
на отрезке
и найти соответствующее значение ξ.
5.
Проверить, что функции
и
удовлетворяют условиям теоремы Коши
на отрезке
и найти соответствующее значение ξ.