Дифференциал функции
Определение. Функция у = f (x), определенная в некоторой окрестности точки х, называется дифференцируемой в точке х, если ее приращение в этой точке
Δу = f (x + Δх) – f (x)
имеет вид
Δу = А · Δх + α (Δх) · Δх,
где А - постоянная, а функция α (Δх) → 0 при Δх → 0.
Определение. Главная линейная часть А · Δх приращения дифференцируемой функции f (x) называется дифференциалом, функции в точке х и обозначается dy.
Таким образом,
Δу = dy + α(Δх) · Δх.
Замечание. Величина dy = А · Δх называется главной линейной частью приращения Δу, а другая часть приращения α (Δх) · Δх является бесконечно малой величиной относительно Δх.
Теорема. Для того чтобы функция у = f (x) была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную.
Если x — независимая переменная, то дифференциал вычисляется по формуле
dy = f ' (x) dx.
Если в формуле Δ у = dy + α(Δ х) · Δ х α (Δ х) → 0 при Δ х → 0, то
Δ
у
≈
dy
=
(x)
Δ
x.
Значит,
f
(x
+ Δ х)
– f
(x)
≈
(x)Δ
x
f
(x
+ Δх)
≈
f
(x)
+
(x)Δx.
Полученная формула используется в приближенных вычислениях.
Дифференциал второго порядка от функции у = f (x) в точке х есть дифференциал от дифференциала первого порядка в этой точке:
d2
y
= d(
dy)
= d(
(x)
dx)
= (
(x)
dx)'
dx
=
(
(x)
dx
)
dx
=
(x)
dx2,
то есть
d2 y = (x) dx2
(при вычислении производной ( (x) dx)' учтено, что величина dx не зависит от x и, следовательно, при дифференцировании является постоянной).
Дифференциалом порядка п функции у = f (x) называется дифференциал от дифференциала (п — 1) - го порядка этой функции, т. е.
или
.
Пример.
Найти
дифференциал функции
при
,
.
Решение.
Вычислим
:
.
Подставим значения , в найденное выражение
.
Пример.
Найти
приращение и дифференциал функции
в точке
при
.
Найти
абсолютную и относительную погрешности,
которые допускаются при замене функции
её дифференциалом.
Решение. Так как
Δу = f (x + Δх) – f (x),
то
.
При и получим
Абсолютная погрешность
,
.
Относительная погрешность
или
4,8 %.
Пример.
Оловянный
куб с ребром 4 см
подвергается равномерной шлифовке со
всех сторон, при которой его вес
уменьшается на 0, 98 г
. Определить на сколько уменьшится ребро
куба. Плотность олова 7, 29
.
Решение.
Пусть х
–
ребро куба, тогда его объем
.
Из
курса физики известно, что
,
где
объём,
вес,
плотность.
Найдем изменение объёма куба
(
см
3
).
Считая
приближенно
и
учитывая, что
и
,
получим
.
Таким образом, ребро куба уменьшится на 0, 003 см .
Пример.
Найти
приближенное значение функции
,
используя понятие дифференциала, при
Решение. Известно, что
Δу = f (x + Δх) – f (x),
поэтому
f (x + Δх) = f (x) + Δу,
так как Δу ≈ dy, то
f (x + Δх) = f (x) + dу.
Из
условия задачи видно, что
,
.
Тогда
Следовательно,
.
Истинное
значение
с
точностью до
.
Пример.
Вычислить
приближенное значение
с
точностью до
.
Решение.
По
условию задачи имеем
х
= 65, где
,
отсюда получаем
Известно, что
Найдем
значение функции
и
значение её производной
в
точке
:
;
;
Подставим найденные значения в формулу
и получим
.
Следовательно,
приближенное значение
с
точностью до
.
Пример.
Вычислить
приближенное значение
.
Решение.
По
условию задачи имеем
х
= 0, 98, где
,
отсюда получаем
Известно, что
Найдем
значение функции
и
значение её производной
в
точке
:
Подставим найденные значения в формулу и получим
.
Следовательно,
приближенное значение
.
Пример.
Найти
дифференциал второго порядка функции
.
Решение. Дифференциал второго порядка
Найдем производную первого и второго порядков функции :
,
.
Окончательно получим,
.
Пример.
Найти
дифференциал третьего порядка функции
.
Решение. Дифференциал третьего порядка
.
Найдем производную первого, второго и третьего порядков функции :
Окончательно получим,
.
Упражнения
1.
Найти дифференциал функции
при
,
.
2.
Найти приращение и дифференциал функции
в точке
при
.
Найти
абсолютную и относительную погрешности,
которые допускаются при замене функции
её дифференциалом.
3.
Объем
шара
радиуса
равен
Найти приращение и дифференциал объёма.
4.
Свободное падение материальной точки
определяется законом
Найти приращение и дифференциал пути
в момент времени t
.
5. Найти дифференциалы второго порядка функций:
1)
|
Б2)
|
3)
|
4)
|
;
;
;
.
6.
Найти дифференциал третьего порядка
функции
.
7.
Вычислить приближенное значение
с
точностью до
.
8.
Вычислить приближенное значение
с точностью до
.
9.
Вычислить
приближенное значение
с
точностью до
.
10.
Вычислить приближенное значение
с
точностью до
.