Дифференциальное исчисление функций одной переменной в упражнениях и задачах.
Крум С. П.
Янченко М. В.
2010
АННОТАЦИЯ
Учебное пособие по решению задач математического анализа соответствует программе по высшей математике для вузов. Пункты пособия содержат краткие теоретические сведения, разбор типовых задач и упражнения для самостоятельного решения.
Цель пособия – оказать помощь студентам овладеть практическими умениями при дифференцировании функций одной переменной и решении прикладных задач.
Пособие предназначено для студентов технических специальностей всех форм обучения.
Глава 1. Введение в анализ
Определение функции
Определение. Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению переменной х, принадлежащему некоторой области, соответствует единственное определенное значение переменной у.
Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной. Значение у, соответствующее заданному значению х, называется значением функции.
Обозначение
функции:
.
Все значения, которые принимает независимая переменная х, образуют область определения функции (обозначение: D ( y ), D ( f )).
Все
значения, которые принимает функция
(при х,
принадлежащих области определения),
образуют область значений функции
(обозначение: E
( y
),
E
(
f
)).
Функция
называется
четной, если для любых х,
из области определения функции,
выполняется равенство
(график чётной функции симметричен
относительно оси ординат).
Функция
называется
нечетной, если для любых х,
из области определения функции,
выполняется равенство
(график нечётной функции симметричен
относительно начала координат).
Функция
f
(х)
называется периодической, если существует
такое число T
0,
что для любых
,
,
выполняются равенства f
(х)
= f
(х
–
Т)
= f
(х
+ Т
).
Основными способами задания функции являются:
аналитический – задание функции с помощью формул или уравнений;
табличный – задание функции при помощи таблицы;
графический – задание с помощью графика функции .
Если уравнение, при помощи которого задается функция, не разрешается относительно у, то функция называется неявной.
Если
уравнение
может быть однозначно разрешено
относительно х,
то функция
называется
обратной по отношению к функции
.
Если
переменная у
зависит
от переменной и,
а и
зависит от переменной х:
,
то функция
называется
сложной.
Функция
задана параметрически, если зависимость
у
от х
задана посредством параметра
,
где принимает некоторые числовые значения.
Пример.
Найти
область определения функции
.
Решение.
Область определения заданной функции
состоит из тех значений х,
при которых каждое из слагаемых принимают
действительные значения, т. е. должны
выполняться условия:
и
.
.
Следовательно,
D
(f
)
=
.
Пример.
Найти
область значений функции
.
Решение. Из выражения функции имеем
Так как
,
то
Учитывая, что
,
получим
Следовательно,
Е
(
f
)
=
.
Пример. Исследовать функции на чётность
а)
,
б)
.
Решение. а) Функция определена на всей числовой оси.
Найдем
:
.
Следовательно, функция нечётная.
б) Функция определена на всей числовой оси.
Найдем :
Следовательно, функция чётная.
Пример.
Доказать,
что функция
не является периодической.
Решение. Предположим, что функция имеет период Т, тогда должно выполняться тождество
.
Так как косинусы равны при некотором целом значении k , то имеет место равенство
.
Это тождество не имеет место, так как k может принимать только целочисленные значения, а в левой части равенства стоит либо линейная, либо квадратичная функция непрерывного аргумента х.
Значит, предположение что функция имеет период Т неверно.
Следовательно, функция не является периодической.
Упражнения
1. Найти область определения следующих функций
а)
;
б)
.
2. Найти область значений следующих функций
а)
;
б)
.
3. Исследовать функции на чётность
а)
,
б)
.
4. Доказать, что следующие функции не являются периодическими:
а)
;
б)
