Глава 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

2. 1. Задачи, приводящие к понятию производной

1. Задача о скорости движущейся точки.

Пусть S = S ( t) представляет закон прямолинейного движения ма­териальной точки. Эта функция задает путь S, пройденный точкой, как функцию времени t. Обозначим через Δ S путь, пройден­ный точкой за промежуток времени Δ t от момента t до t + Δ t, т.е.

Δ S = S (t + Δ t ) — S (t).

Отношение называется средней скоростью точки за время от t до t + Δ t. Чем меньше Δ t, т. е. чем короче про­межуток времени от t до t + Δ t, тем лучше средняя скорость харак­теризует движение точки в момент времени t. Поэтому естественно ввести понятие скорости v в данный момент t, определив ее как

.

Величина v называется мгновенной скоростью точки в данный мо­мент t.

2. Задача о силе тока.

Пусть Q = f (t) — количество электричества, проходящее через фиксированное сечение провода за время t. За время от t до t + Δ t через сечение протекает количество электричества

Средняя сила тока определяется . Предел при Δ t → 0 дает силу тока в момент t:

.

Эти различные задачи свелись к одной математической операции, которую нужно провести над функцией. Эта операция — дифференцирование функции, а ее результат — производная функции.

2.2. Определение производной

Пусть функция у = f (x) определена на интервале (а, b), х - фик­сированная точка этого интервала, Δ x - любое приращение аргу­мента, такое, что число х + Δ х также принадлежит интервалу (а, b).

Считая, что Δ x ≠ 0, рассмотрим в данной фиксированной точ­ке х отношение приращения функции у = f (x) в этой точке к соответствующему приращению аргумента Δ x:

.

Отношение называется отношением приращения функции к приращению аргумента в данной точке х. Так как х фиксировано, отношение представля­ет собой функцию аргумента . Эта функция определена для всех значений аргумента , принадлежащих некоторой достаточно ма­лой окрестности точки Δ х = 0, за исключением самой точки Δ х = 0. Это дает право рассматривать вопрос о существовании предела указанной функции при Δ х → 0.

Определение. Производной функции у = f (x) в данной фик­сированной точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при

(при условии, что этот предел существует).

Производную функции у = f (x) в данной фиксированной точке х будем обозначать символом , .

Итак, по определению,

.

Если функция имеет производную для всех точек х интервала (а, b), то эта производная будет представлять собой некоторую функ­цию аргумента х.

Теорема. Если функция f (х) имеет производную в точке х, то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное утверждение несправедливо, т. е функция у = f (x) непрерывная в точке может не иметь производную в этой точке.

Например, функция непрерывна в точке х = 0, но не имеет производной в этой точке.

Пример. Найти производную функции исходя из определения.

Решение. Пусть приращение аргумента - , тогда приращение функции

Найдем предел отношения при :

Так как , то .

Пример. Найти производную функции , исходя из определения.

Решение. Пусть приращение аргумента - , тогда приращение функции

Найдем предел отношения при :

Следовательно, .

Использовали формулу тригонометрии

и первый замечательный предел

.

Упражнения

Исходя из определения, найти производные следующих функций:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .