2.4. Приложения производной к задачам геометрии и механики.

Напомним, что графиком линейной функции является прямая. Число называется угловым коэффициентом прямой , а — угол, образованный с поло­жительным направлением оси Ох этой прямой.

Касательной к графику функции , дифференцируемой в точке , называется прямая, проходящая через точку и имеющая угловой коэффициент .

Таким образом,

= .

С геометрической точки зрения значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Для составления уравнения касательной воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом :

.

Т. к. , уравнение касательной к кривой в точке имеет вид

или ,

где есть значение производной функции при х = х₀.

Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания.

Для составления уравнения нормали напомним связь угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых и : , если - угловой коэффициент касательной, то - угловой коэффициент нормали.

Значит, уравнение нормали имеет вид

или

Углом, между двумя кривыми ) и в точке их пересечения называется угол между касательными к этим кривым в точке М₀. Этот угол находится по формуле:

или ,

где - угловые коэффициенты касательных к кривым в точке их пересечения

Если при прямолинейном движении точки задан закон движения , то выражает скорость движения в момент времени t , т.е. (мгновенная скорость). Производная функции выражает скорость изменения функции в точке х, т. е. скорость протекания процесса, описываемого зависимостью .

Пример. Через точку О(0;0) провести касательную к графику функции

.

Решение. Пусть - точка касания. Составим уравнение касательной в общем виде.

Найдем производную функции : , тогда и уравнение касательной имеет вид . По условию касательная должна проходить через точку О (0;0), т. е. координаты точки О должны удовлетворять уравнению .

Подставим и в полученное уравнение

= е.

Подставим значение = е в уравнение и получим .

Следовательно, - уравнение касательной к графику функции

, проходящей через точку О (0;0).

Пример. Составить уравнение касательной и нормали к параболе

в точке .

Решение. Уравнение касательной имеет вид :

Найдем последовательно

Подставим найденные значения в общий вид уравнения

Следовательно, - уравнение касательной к параболе в точке .

Уравнение нормали имеет вид :

Подставим найденные значения в общий вид уравнения

Следовательно, - уравнение нормали к параболе в точке .

Пример. Составить уравнение касательной и нормали к окружности в точках пересечения её с осью абсцисс.

Решение. Определим координаты точек пересечения окружности с осью абсцисс. Так как при пересечении окружности с осью Ох , то . Находим корни квадратного уравнения: , .

Следовательно, координаты точек пересечения окружности с осью абсцисс (-1; 0) и (3;0)

Найдем уравнение касательной и нормали к окружности в точке . Зная, что , найдем .

Дифференцируя по х уравнение окружности, получим

.

.

. Подставим значения в уравнения касательной и нормали :

и

.

Найдем уравнение касательной и нормали к окружности в точке . Т. к. и , то . Подставим значения в уравнения касательной и нормали :

и

.

Таким образом, уравнения касательных к окружности в точках пересечения её с осью абсцисс имеют вид:

, ;

уравнения нормали к окружности в точках пересечения её с осью абсцисс имеют вид:

, .

Пример. Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде в точке .

Решение. Найдем последовательно - координаты точки касания:

.

Производная функции, заданной параметрически, имеет вид .

Для этого найдем , : , тогда

.

Вычислим значение производной при :

.

Уравнение касательной имеет вид:

Подставим найденные значения величин в данное уравнение касательной и получим

.

Уравнение нормали имеет вид:

Подставим найденные значения величин в данное уравнение нормали и получим

.

Следовательно, уравнения касательной и нормали к циклоиде в точке имеют вид соответственно

и .

Пример. Найти угол между кривой и прямой .

Решение. Определим координаты точки пересечения графиков функций и . Для этого решим систему двух уравнений с двумя переменными

,

тогда .

Следовательно, графики функций пересекаются в точке М (0;0).

Определим угловой коэффициент касательной к графику функции , для этого найдем при .

, тогда , Угловой коэффициент прямой равен 5, .

Подставим в формулу значения угловых коэффициентов и получим

.

Таким образом, угол между кривой и прямой

равен .

Пример. Точка движется прямолинейно по закону . Определить момент времени t, когда точка остановится.

Решение. Точка остановится тогда, когда её скорость будет равна нулю.

Найдем скорость точки в момент времени t, т. к. , то

.

Значит, . По условию 0, тогда = 0, , поэтому .

Таким образом, точка, движущаяся прямолинейно по закону , остановится при .

Пример. Количество тепла Дж, необходимого для нагревания 1 кг воды от до определяется формулой

.

Вычислить теплоемкость воды для

Решение. Так как теплоёмкость с( ) при температуре есть производная от количества тепла ( ), получаемого телом, по температуре , т. е.

с( ) = ( ).

Найдем ( ):

,

тогда

Таким образом, теплоемкость воды с( ) = 1,013 для .

Упражнения

1. Составить уравнение касательной к параболе в точке .

2. Составить уравнение нормали к графику функции в точке пересечения с осью Оу.

3. Окружность задана уравнением . Найти уравнения касательных и нормалей к ней в точках её пересечения с осью Ох.

4. При каких значениях х касательные к графику функции параллельны прямой ?

5.Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции гиперболы в точках, где х = 2.

7. Составить уравнения касательной и нормали к астроиде в точке .

8. Найти угол между кривыми и .

9. Найти углы, под которыми пересекаются эллипс и парабола .

10. Найти угол между кривыми и .

11. Точка движется прямолинейно по закону (м). Определить его скорость в момент времени и .

12. Зависимость между количеством х вещества, получаемого в некоторой химической реакции, и временем выражается уравнением . Определить скорость реакции.

13. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением ( - в секундах, - в метрах). Определить скорость движения точки в конце второй секунды.

14. Количество электричества, протекающего через проводник, начиная с момента времени , задаётся формулой . Найти силу тока в конце пятой секунды.