2.3. Дифференцирование функций
Правила дифференцирования
1. Производная суммы функций
;
2. Производная произведения функций
;
2˚. Постоянный множитель можно вынести за знак производной
;
3. Производная частного функций
,
где
const;
4. Производная сложной функции
;
5.
Производная неявно заданной функции
;
6.
Производная функции, заданной
параметрически
;
7. Производная обратной функции
,
где
обратная функция функции
,
.
Логарифмическое дифференцирование применяется для функций вида
,
где
,
функции, зависящие от х.
Прологарифмируем обе части равенства по основанию е:
.
Дифференцируя
полученное равенство и учитывая, что
функция
- сложная, получим:
Таблица общих формул и их частных видов
1.
2.
2
2*.
2**.
3.
3*.
4.
4*.
|
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
|
Замечание.
Функция
,
её можно заменить на х
, так формулы
2*
и 2** получены из формулы 2 при
,
и
соответственно; формула 3* и 4* - из формул
3 и 4 при
,
.
Пример.
Найти производную функции
.
Решение. Используя 1, 2˚ правила дифференцирования и 1, 2 формулы таблицы производных, получим
.
Пример.
Найти производную функции
.
Решение. Используя 1, 2˚ правила дифференцирования и 2, 2*, 2** формулы таблицы производных, получим
.
Пример.
Найти производную функции
Решение. Используя 1, 2 правила дифференцирования и 1, 2, 5 формулы таблицы производных, получим
Пример.
Найти производную функции
Решение. Используя 1, 3 правила дифференцирования и 1, 2 формулы таблицы производных, получим
Пример.
Найти производную функции
.
Решение. Используя 2˚ ,4 правила дифференцирования и 2,5 формулы таблицы производных, получим
.
Пример.
Найти производную функции
Решение.
При нахождении производных применили 1,2, 4 правила дифференцирования и 2, 6, 11 формулы таблицы производных.
Пример.
Найти производную функции
.
Решение.
При нахождении производных применили 3, 4 правила дифференцирования и 2, 3*, 6 формулы таблицы производных.
Пример.
Найти производную функции
.
Решение. Используем логарифмическое дифференцирование
При нахождении производных применили 2, 4 правила дифференцирования и 3*, 6 формулы таблицы производных.
Пример.
Найти производную из уравнения
Решение.
1 способ. Дифференцируем по х обе части уравнения, учитывая, что у есть функция от х, получим
При дифференцировании применили 1, 2˚, 5 правила дифференцирования и 2 формулу таблицы производных.
2
способ.
Если
неявно заданная функция, то её производная
вычисляется по формуле
.
Найдем
,
считая у
постоянной:
;
найдем
,
считая х
постоянной:
.
В результате получим
.
Пример.
Найти
производную функции, если
.
Решение.
Функция задана параметрически, поэтому
.
Найдем
,
:
.
Следовательно,
.
При нахождении производных применили 1, 2˚, 6 правила дифференцирования и 1, 2 формулы таблицы производных.
Пример.
Пользуясь 7 правилом дифференцирования
обратной функции найти
для функции
.
Решение. Для функции найдем обратную функцию и её производную:
,
.
Тогда,
.
Следовательно,
.
Упражнения
Найти производные следующих функций:
1.
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
2.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
4.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Найти производные следующих неявно заданных функций:
5.
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
Найти производные следующих параметрически заданных функций:
6.
а)
б)
в)
г)
Найти производные следующих функций, используя логарифмическое дифференцирование:
7.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции найти для следующих функций:
8.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.