2.15. Формула Тейлора

Если функция непрерывна и имеет на отрезке непрерывные производные до го порядка включительно, а в каждой внутренней точке отрезка имеет конечную производную п – го порядка, то при справедлива следующая формула Тейлора:

где

- остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа :

,

Формула Тейлора позволяет приближенно представить (аппроксимировать) произвольную функцию в вид многочлена

Если в формуле Тейлора положить , то она записывается в виде

где

Полученный частный случай формулы Тейлора называется формулой Маклорена.

Остаточный член в формуле Маклорена имеет вид

Пример. Разложить многочлен по степеням двучлена , пользуясь формулой Тейлора.

Решение. Найдем значения многочлена и его производных в точке :

,

при любом х.

Подставляя найденные значения в формулу Тейлора

,

получим

Следовательно,

Пример. С помощью формулы Маклорена разложить функцию .

Решение. Вычислим значение функции в точке х = 0:

Найдем производные функции первого, второго, …,

п – го порядков и их значения в точке х = 0:

продолжая по аналогии, получим

Подставляя найденные значения в формулу Маклорена

получим

Следовательно, разложение функции в точке х = 0 имеет вид

Пример. Сколько нужно взять членов в формуле Маклорена для функции , чтобы получить многочлен, представляющий эту функцию на отрезке , с точностью до 0, 001?

Решение. Так как производные для функции любого порядка

,

то их значения при х = 0

,

Отсюда

где

Так как, по условию и , то

Следовательно, если выполняется неравенство

то будет выполняться неравенство

и для этого достаточно взять .

Таким образом, в формуле Маклорена достаточно взять семь членов.

Упражнения.

1. Разложить многочлен по степеням двучлена , пользуясь формулой Тейлора.

2. С помощью формулы Маклорена разложить по степеням х функцию

а) , б)

3. При каких значениях х приближенная формула

имеет погрешность меньше 0, 00005 ?

2.16.Векторная функция скалярного аргумента

Из курса линейной алгебры известно, что разложение любого вектора , проекции которого на оси координат равны х, у и z, имеет вид

,

где и — единичные векторы, направленные по осям координат. Если проекции х, у, z — постоянные числа, то вектор называется постоянным. Если проекции вектора являются функциями: параметра t, изменяющегося в некотором интервале:

x = x (t), y = y (t), z = z (t),

тогда вектор называется переменным; при этом каждому зна­чению параметра t будет соответствовать определенный вектор:

.

Определение. Если каждому значению параметра t соот­ветствует определенный вектор , то он называется вектор – функцией скалярного аргумента.

Вектор есть радиус – вектор r некоторой точки на заданной линии, то эту линию можно задать векторным уравнением:

.

Определение. Пространственная кривая, описанная кон­цом вектора , называется годографом вектор - функции =

Начало координат называют при этом полюсом годографа.

Определение. Вектор называется пределом вектор – функции при :

.

Определение. Вектор-функция называется непрерыв­ной при данном значении пapаметра t, если она определена в окрест­ности точки t и если

.

Определение. Предел

называется производной от векторной функции пo скалярному аргументу t и обозначается

Производная вектор – функции может быть вычислена по формуле

Производная есть вектор, направленный по касательной к годографу вектора в сторону возрастания параметра t .

Основные правила дифференцирования переносятся без изменения на вектор – функцию.

Уравнение касательной к пространственной кривой в точке М₀ (х₀, у₀, z₀ ) имеет вид

,

уравнение нормальной плоскости имеет вид

где

Дифференциал дуги пространственной кривой вычисляется по формуле

Пример. Найти производную вектор – функции .

Решение. Найдем производные

_{Подставим найденные выражения в формулу}

_{и получим}

Следовательно, производная вектор – функции

Пример. Найти производную вектор – функции в точке .

Решение. Найдем производные и вычислим их значения при :

_{Подставляя значения производных в формулу}

_{получим}

Следовательно, производная вектор – функции в точке

Пример. Найти уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к кривой при

Решение. Определим координаты точки касания:

Найдем производные от х, у, z по t и вычислим их значения в точке касания :

Подставляя найденные значения в уравнение касательной прямой к пространственной кривой

и уравнение нормальной плоскости

Получим

Следовательно, уравнение касательной к пространственной кривой – –

уравнение нормальной плоскости –

Пример. Найти дифференциал дуги кривой

Решение. Найдем производные от х, у, z по t :

Подставляя найденные значения

в формулу

получим

Следовательно, дифференциал дуги кривой

Упражнения

1. Найти производную вектор – функции:

а) ;

б) в точке .

2. Найти уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к кривой:

а) при ;

б) , при .

3. Найти дифференциал дуги кривой :

а)

б) .