2.11.Наибольшее и наименьшее значения функции

Пусть у = f ( x ) непрерывна на отрезке [а, b]. По свойству функций, непре­рывных на отрезке, найдется такая точка , что

Тогда либо х₀ = а, либо х₀ = b, либо . В последнем слу­чае точка является критической точкой. Предположим, что кри­тических точек у функции f ( x ) на [а, b] имеется лишь конечное число . Тогда

.

Аналогично,

.

Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции на отрезке [а, b] достигается или в критической точке, или нам концах отрезка. Для определения наибольшего (наименьшего) значения функции надо вычислить значения во всех критических точках на отрезке [а, b], значения , функции на концах отрезка и выбрать наибольшее (наименьшее) из полученных чисел.

При нахождении наибольшего и наименьшего значений непрерывных функций используется свойство:

Если в некотором интервале (конечном или бесконечном) функция непрерывна и имеет только одну точку экстремума и если это точка максимума (минимума), то в ней функция принимает наибольшее (наименьшее) значение в этом интервале.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 3].

Решение. Найдем производную функции и приравняем её к нулю для нахождения критических (стационарных) точек:

.

Так как , а , то найдем значение производной в критической точке и на концах отрезка:

;

;

.

Следовательно, , .

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1; e].

Решение. Найдем производную функции

и приравняем её к нулю для нахождения критических точек:

.

Так как ни одна из критических точек не принадлежит заданному отрезку[1; e], то наибольшее и наименьшее значения функции находятся на концах отрезка. Вычислим и :

, .

Следовательно, , .

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке .

Решение. Используя формулу тригонометрии,

,

представим функцию в виде

.

Из записи функции видно, что функция чётная и имеет период .

Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции достаточно искать среди экстремумов функции на отрезке .

Найдем производную :

.

На отрезке производная обращается в нуль в точках

.

Найдем значения функции в этих точках:

;

;

;

.

Следовательно,

, .

Пример. Число 100 записать в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.

Решение. Пусть х – первый множитель, тогда – второй множитель. Сумма этих чисел х + . По условию задачи х > 0. Таким образом, задача свелась к нахождению такого значения х, при котором функция принимает наименьшее значение на интервале .

Найдем производную функции

и приравняем её к нулю для нахождения критических точек:

.

На интервале имеется только одна стационарная точка . При переходе через точку производная меняет знак с « – » на « + », поэтому точка является точкой минимума и в ней функция принимает наименьшее значение (на основании свойства непрерывной функции).

.

Таким образом, 10 – первый множитель, – второй множитель.

Следовательно, 100 = 10 10.

Пример. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м ² так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

Решение. Обозначим сторону основания через х, а высоту через у. Тогда объем бассейна будет равен , по условию задачи

.

Облицовываемая поверхность бассейна S состоит из поверхности стен и дна, т. е.

.

Выразим из соотношения величину у: и подставим её в формулу

.

Получим функцию

,

определённую на промежутке .

Найдем производную функции

и приравняем её к нулю для нахождения критических (стационарных) точек:

.

При переходе через точку производная меняет знак с « – » на « + », поэтому точка является точкой минимума и в ней функция принимает наименьшее значение (на основании свойства непрерывной функции).

Так как , то

.

Следовательно, искомые размеры бассейна и , при которых на облицовку стен и дна пошло наименьшее количество материала.

Пример. Сила действия кругового электрического тока на небольшой магнит, ось которого расположена на перпендикуляре к плоскости круга, проходящем через центр, выражается формулой

,

где а – радиус круга; х – расстояние от центра круга до магнита ; С – постоянная величина. При каком значении х величина F будет наибольшей?

Решение. Найдем производную функции

и приравняем её к нулю для нахождения критических (стационарных) точек:

.

Так как , то функция

имеет единственную стационарную точку .

При переходе через точку производная меняет знак с « + » на «– », поэтому точка является точкой максимума и в ней функция принимает наибольшее значение (на основании свойства непрерывной функции).

Следовательно, при величина F будет наибольшей.

Упражнения

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 4].

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 2].

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке .

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке .

5. Найти наибольший объем конуса, образующая которого l.

6. Найти наибольший объем цилиндра при данной боковой поверхности S.

7. На прямой между двумя источниками света силы F и 8F найти наименее освещенную точку, если расстояние между источниками 24 м. (Освещенность точки обратно пропорциональна расстоянию от источника света.)

8. Если источником тока служит элемент, то эффект Р (вт), получающийся при включении в цепь сопротивления W (ом), выражается формулой , где E (в) – электродвижущая сила, (ом) –– внутреннее сопротивление. Найти наибольший эффект, который можно получить при данных Е и .