2.9.Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
Пусть
представляет собой неопределенность
вида
или
при х
→
ω
(ω
—
число или один из символов бесконечности),
если
,
Раскрыть
эту неопределенность — это значит найти
или доказать, что этот предел не
существует.
Теорема (правило Лопиталя). Пусть f ( x), g( х) дифференцируемы на некоторой окрестности точки ω, за исключением, быть может, ω и g'( х) ≠ 0 в этой окрестности. Пусть, далее,
.
Тогда, если существует конечный или бесконечный предел
,
то существует и , причем
= .
Замечание . В некоторых случаях раскрытие неопределенностей вида и может потребовать неоднократного применения правила Лопиталя.
Неопределенность
вида
(
f
(x)
· g
(x),
f
(x)→
0, g
(x)
→ ∞
при
х
→ ω).
Эта неопределенность сводится к
неопределенности вида
или
представлением
произведения в виде дробей
.
Неопределенность вида ∞ – ∞ ( f (x) – g (x), f (x)→ ∞ (– ∞), g (x) → ∞ (–∞) при х → ω) сводится к неопределенности или представлением произведения в виде дробей
.
Неопределенности
вида
сводятся
к неопределенности 0 · ∞ с помощью
логарифмирования.
Пример.
Найти
.
Решение. При непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеет место неопределенность вида . Таким образом, можем применить правило Лопиталя:
.
Пример.
Найти
.
Решение. При непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеет место неопределенность вида . Таким образом, применяя правило Лопиталя, получим:
В данном случае правило Лопиталя применено трижды.
Пример.
Найти
.
Решение.
При непосредственной подстановке
предельного значения аргумента имеет
место неопределенность вида
.
Преобразуем функцию к виду дроби,
числитель и знаменатель которой
одновременно стремятся к нулю:
.
При непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеет место неопределенность вида . Таким образом, применяя правило Лопиталя, получим:
Пример.
Найти
.
Решение. При непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеет место неопределенность вида . Преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к нулю:
.
При непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеет место неопределенность вида . Таким образом, применяя правило Лопиталя, получим:
В данном случае правило Лопиталя применено дважды.
Пример.
Найти
.
Решение.
При непосредственной подстановке
предельного значения аргумента имеет
место неопределенность вида
.
Пусть
,
прологарифмируем функцию:
.
Вычислим предел логарифма функции:
При непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеет место неопределенность вида . Преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к бесконечности:
Имеет место неопределенность вида , значит можно применить правило Лопиталя:
При нахождении предела использовали первый замечательный предел
.
Получили
,
следовательно,
Пример.
Найти
.
Решение.
При непосредственной подстановке
предельного значения аргумента имеет
место неопределенность вида
.
Пусть
,
прологарифмируем функцию:
.
Вычислим предел логарифма функции:
.
При непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеет место неопределенность вида . Преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к бесконечности:
.
Имеет место неопределенность вида , значит можно применить правило Лопиталя:
При нахождении предела использовали первый замечательный предел .
Получили
,
следовательно,
Пример.
Найти
.
Решение.
При непосредственной подстановке
предельного значения аргумента имеет
место неопределенность вида
.
Пусть
,
прологарифмируем функцию:
.
Вычислим предел логарифма функции:
При непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеет место неопределенность вида . Преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к бесконечности:
.
Имеет место неопределенность вида , значит можно применить правило Лопиталя:
В данном случае правило Лопиталя применено трижды.
Получили
,
следовательно,
Упражнения
Найти пределы следующих функций, применяя правило Лопиталя.
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
|
2.
4.
6.
8.
10.
12.
14.
|
;
.