Тема 2.3 Мінімізація функцій алгебри логіки

Лекція №7 Методи мінімізації

1. Алгебраїчний метод.

2. Метод Квайна.

Лекція №8 Метод карт Карно

1. Метод карт Карно.

2. Правила мінімізації.

Мінімізація необхідна для зменшення кількості фізичних елементів призначених для реалізації заданої функції. Для мінімізації використовуються слідуючи методи: алгебраїчний, метод Квайна, метод карт Карно.

І. Алгебраїчний:

При мінімізації цим методом використовуються основні закони і тотожності алгебри логіки.

f = x₃•x₂• ₁ ₃•x₂• ₁ = x₂• ₁•(x₃ ₃) = x₂• ₁

ІІ. Метод Квайна.

Використовується для мінімізації функції заданої у ДДНФ.

Імпліканта функції – деяка логічна функція, яка рівна = 0 на наборі змінних, на яких функція рівна 0.

Нехай необхідно мінімізувати логічну функцію, яка задана у вигляді:

f ¹ (x₁, x₂, x₃) = (3, 4, 5, 7) = ₁·x₂·x₃ + x₁· ₂· ₃ + x₁· ₂·x₃ + x₁·x₂·x₃

1. Складаємо таблицю та знаходимо імпліканти на ранг нижче ніж члени які входять у ДДНФ.

Терми	1	2	3	4
	011	100	101	111
1 x2 x3 011	1			x2 x3
x1 2 3 100		1	x1 2
x1 2 x3 101		x1 2	1	x1 x3
x1 x2 x3 111	x2 x3		x1 x3 	1

Первинні імпліканти 2 рангу

2. Виконуємо операцію поглинання, тобто Х+Х = Х

3. Розставляємо мітки. У рядок записуємо первинні імпліканти, а у стовпчики мінтерми ДДНФ. Якщо у мінтерм входить первинна імпліканта та ставимо мітку.

і мпліканти	011	100	101	111
x2 x3	V			V
x1 2		V	V
x1 x3			V	V

Не є суттєві

4. Якщо у якомусь із стовпчиків є одна мітка то первинна імпліканта є суттєвою, та без неї не можна отримати всі множини заданих мінтермів.

5. Вибираємо мінімальне покриття, тобто записуємо декілька імплікантів, щоб всі вони разом мали по одній мітці в кожному стовпчику. Тоді мінімальна форма заданої функції складається з суми цих імплікант:

f (x₁, x₂, x₃) = x₂ x₃ + x_{1 2}

ІІІ. Метод карт Карно:

При мінімізації цим методом функція представляється на карті розміри якої 2ⁿ, де n – кількість аргументів, розміри карти – кількість кліток на карті. Далі для одержання мінімальної ДНФ (МДНФ) необхідно зробити об’єднання, в які будуть входити сусідні одиниці по дві або чотири, або вісім. Для кожного об’єднання виписуються прості імпліканти, диз’юнкція яких і буде МДНФ. Необхідно перевірити чи всі об’єднання є суттєвими.

Кожній комірці карти співставляємо певний мінтерм.

А В	0	1
0		А
1	В	АВ

Правило нумерації комірок: номер сусідніх комірок повинен відрізнятись на 1 в любому розряді.

F = x₁ x₂ x₃ + ₁ x₂ x₃ + x₁ x_{2 3} + x_{1 2 3}

х2х3 х1	00	01	10	11	х2х3 х1
0				1
1	1		1	1

Карта Карно утворює циліндр як вертикально так і горизонтально.

А В	0	1
0
1	1	1

І. F = AB + B =B(A+ ) = B

Мінімізуємо сусідні одиниці та випадає змінна, яка входить в прямому та інверсному вигляді тобто А.

А В	0	1
0	1
1	1	1

II. F = AB + B + = AB + B + B + = B(A + ) + (B + )=B +

х2х1 х3	00	01	11	10	х2х1 х3
0			1
1	1		1	1

III. F = x₂ x₁ +x_{3 1}

х2х1 х3	00	01	11	10	х2х1 х3
0	1	1
1	1	1

IV. При об’єднанні 4 мінтермів випадають ті змінні, які попарно входять у прямому та інверсному вигляді.

F = ₂

Приклад 1:

f¹ (х₁, х₂, х₃) = (0, 4, 5, 7) – функція представлена в так званій числовій формі по якій запишемо таблицю істинності (в дужках записана позиція де записуємо 1):

	х3	х2	х1	f
0	0	0	0	1
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	0
4	1	0	0	1
5	1	0	1	1
6	1	1	0	0
7	1	1	1	1
	22	21	20

х2х1 х3	0 0	01	11	10	х2х1 х3
0	1	0	0	0
1	1	1	1	0

Не суттєве об’єднання

МДНФ

f = ₁• ₂х₃•х₁

Для одержання МКНФ в об’єднання необхідно включити нулі, і застосувати прийоми, протилежні тим, які були використані для запису МДНФ.

Запис у МКНФ f = (х₁ + ₃)( ₁ + х₂)

Приклад 2.

х2х1 х 3	00	01	11	10	х2х1 х3
0	1	0	0	1
1	0	0	0	1

f = х₂• ₁ ₃• ₁

Приклад 3.

х2х1 х 3	00	01	11	10	х2х1 х3
0	1	0	1	1
1	1	0	0	1

f = x₂• ₃ ₁

Приклад 4.

х2х1 х4 х3	0 0	01	11	10
00	1	1	0	0
01	1	1	1	1
11	1	1	1	1
10	1	1	1	1

F⁰ (х₄, х₃, х₂ х₁) = (2, 3 )

0 0 1 1 0 0 1 0

х₄х₃ х₂х₁ х₄х₃ х₂х₁

f = ₂x₃x₄

На карті Карно для функції чотирьох аргументів сусідніми є крайні колонки справа і зліва, а також стрічки зверху і знизу.