Тема 2.1 Поняття про Булеві функції. Основні закони та тотожності алгебри логіки
Лекція №5 Булеві функції. Основні закони та тотожності алгебри логіки
Способи задання логічних функцій.
Поняття про мінтерми та макстерми.
Функції одного та двох аргументів.
Поняття про функціонально повні системи, базиси та мінімальні базиси.
Функція f(х1, х2 ... х(n)) називається булевою, або перемикаючою функцією, якщо вона, так само як і аргументи може приймати тільки два значення: "0" або "1".
Якщо функція залежить від n аргументів, тоді загальна кількість комбінацій або наборів аргументів, на яких визначається функція дорівнює 2n. Так як кожний набір це двійкове число, йому ставлять у відповідність номер, який відповідає цьому двійковому числу. Наприклад:
Для запису булевої функції використовують два способи: 1) табличний; 2)аналітичний
Табличний запис у вигляді таблиці істинності показує які значення має функція на кожному наборі аргументів. Набори записуються в таблиці в зростаючому порядку. Функція, записана в табличному вигляді має індекс, який представляє собою перевід в десяткову систему числення двійкового числа, яке створено із значень функції на всіх наборах починаючи від нульового.
Наприклад: f 17(x2,x1)
2
n
=
4
n = 2
Приклад: Дати табличний запис функції f25
(25)10=(11001)2 = 00011001
|
х3 |
х2 |
х1 |
f25 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
3 |
0 |
1 |
1 |
1 |
4 |
1 |
0 |
0 |
1 |
5 |
1 |
0 |
1 |
0 |
6 |
1 |
1 |
0 |
0 |
7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Загальна
кількість перемикаючих (булевих) функцій
теж залежить від кількості аргументів
за формулою
Аналітична форма.
При аналітичному способі запис функції робиться у вигляді окремих добутків і сум аргументів та їх інверсій. Наприклад:
f
= х1·х2
v
1·х2
3·х2·х1
Основні поняття:
Добуток булевих аргументів - булевий добуток. Елементарний булевий добуток - коли аргументи в нього входять один раз в прямій або інверсній формі. Наприклад:
х1· 2; х1·х2· 3 – елементарний добуток
х1·х1; х1· 2· 1; х1·х2·х3· 3 — не є елементарним добутком
Кількість аргументів, які входять в елементарний добуток - довжина, або ранг елементарного добутку. Наприклад:
х1·х2·х3· 4 - ранг 4, х1·х2 – ранг 2.
Поняття про мінтерми і макстерми.
Мінтермом або конституєнта 1 - елементарний добуток ранга n.
Макстермом або конституєнта 0 - елементарна сума ранга n.
При запису мінтерма використовується літера m. При запису макстерма використовується літера М.
Літери записуються з індексом того набору, на якому даний мінтерм має значення 1, а макстерм - 0.
Наприклад:
х3·
2·
1
– мінтерм позначаєтся m4
(ранг 3)
(1 0 0)2 = (4)10
(х4 v 3 v 2 v х1) – М9 (ранг 4)
(1 0 0 1)2 = (9)10
Будь-яка булева функція може бути записана як сума мінтермів, або як добуток макстермів. Це і буде аналітичний вираз логічної функції.