Логічні функції від одного аргументу:

Кількість функцій визначається формулою , де n кількість аргументів

х	f1(x)	f2(x)	f3(x)	f4(x)
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

f₁ = 0

f₂ = x

f₃ =

f₄ =1

f₁ – абсолютно ложна функція (константа нуля)

f₂ – повторення значення логічної змінної (тотожна функція)

f₃ – логічна інверсія, або функція НІ

f₄ – абсолютна істина (константа одиниці).

Логічні функції від двох аргументів.

1. Ф-ція	x1 x2				Опис
   	00	01	10	11
   f1(x)	0	0	0	0	0, константа нуль
   F2(x)	0	0	0	1	х1·x2, x1x2, логічний добуток (кон’юнкція)
   F3(x)	0	0	1	0	х1x2, (заборона по х2)
   F4(x)	0	0	1	1	змінна х1
   F5(x)	0	1	0	0	х2х1 (заборона по х1)
   F6(x)	0	1	0	1	змінна х2
   F7(x)	0	1	1	0	х1  х2 , (сумування по модулю 2)
   F8(x)	0	1	1	1	х1 х2 (логічна сума, диз’юнкція)
   F9(x)	1	0	0	0	х1х2 (функція Пірса)
   F10(x)	1	0	0	1	х1=х2, (логічна рівнозначність)
   F11(x)	1	0	1	0	2 інверсія х2
   F12(x)	1	0	1	1	х2х1, імплікація від х2 до х1
   F13(x)	1	1	0	0	1 , інверсія х1
   F14(x)	1	1	0	1	х1х2 , (імплікація від х1 до х2)
   F15(x)	1	1	1	0	х1 х2 , (функція Шеффера)
   F16(x)	1	1	1	1	1, константа одиниця

   f ₈ = х₁ х₂ (логічна сума, диз’юнкція) операція АБО (OR)

2. f ₂ = х₁·x₂, x₁x₂, логічний добуток (кон’юнкція)

операція І (AND).

3. f₁₁ = ₂ інверсія х₂ НІ (NOT).

За допомогою цих 3 операцій можна здійснити всі операції.

4. f ₉ = функція Даггера, операція АБО-НІ

5. f₁₅ = = функція Шеффера І - НІ

Приклади:

Основні закони та тотожності алгебри логіки. Поняття про функціонально повні системи, базиси та мінімальні базиси.

Основні закони алгебри логіки:

1. асоціативний (сполучний) закон: (х1·х2)·х₃ = х₁·(х2·х3);

(х₁+х₂)+х₃=х₁+(х₂+х₃)=х₁+х₂+х₃.

2. дистрибутивний (розподільчий) закон: (х₁+х₂)х₃ = х1·х3+х2·х3;

3. комутативний (переставний) закон: х_{1 ·}х₂ = х₂ ·х₁; х₁+х₂=х₂+х₁.

Основні співвідношення для інверсії:

1. 

2. 

3. Закон подвійного заперечення:

Основні тотожності для диз’юнкції і кон’юнкції.

диз’юнкція кон’юнкція

0+х = х х·0 = 0

х+1 = 1 х·1 = х

х+х = х х·х = х

х+ = 1 х· = 0

х+х+...+х=х х·х·...·х=х

Перетворення де Моргана (застосовується дія переходу від диз’юнкції до кон’юнкції і навпаки)

Базис – це набір булевих функцій, виключення з якого любої функції перетворює систему булевих функцій в неповну.

Приклади базисів: 1) І, АБО, НІ; 2)"І – НІ"; 3) "АБО – НІ".

Приклади:

І. f = х₁х₂· ₃·х₄х₅ ₁х₂·( ₃·х₄х₂· ₃) =1

ІІ. f = х₂·х₃·(х₁х₂·х₃· ₄)·( ₃ ₃)х₂ = 0х₂ = х₂