- •IV. Общая схема построения интегралов.
- •IV. А Двойные и тройные интегралы.
- •1. Построение и вычисление двойных интегралов в декартовых прямоугольных координатах.
- •Измельчая дробление, ищем предел для (1), т.Е.
- •2. Перемена порядка интегрирования.
- •3. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойных интегралов в полярных координатах.
- •Пример 16.
- •4. Приложения двойного интеграла
- •Пример 19.
- •Пример 26.
- •Пример 27.
- •1. Построение. Вычисление тройных интегралов в декартовых прямоугольных координатах.
- •Пример 1.
- •Пример 2.
- •2. Вычисление тройных интегралов в криволинейных координатах.
- •3. Приложения тройного интеграла.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •IV. В Криволинейные и поверхностные интегралы.
- •1. Криволинейные интегралы первого рода (по длине дуги) – кипр.
- •2. Криволинейные интегралы второго рода (по координатам) – кивр.
- •3. Формула Грина и ее применение.
- •4. Условия независимости криволинейных интегралов от формы пути интегрирования ( условия нпи).
- •5. Приложения криволинейных интегралов.
- •1. Поверхностные интегралы первого рода (по площади поверхности).
- •2. Односторонние и двусторонние поверхности.
- •Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода.
- •Вычисление пивр
- •3. Формула Остроградского – (Гаусса).
- •4. Формула Стокса.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •В задачах 115 117 вычислить заданный криволинейный интеграл.
Пример 26.
Вычислить площадь части поверхности параболоида 2y = x2 + z2, вырезанной цилиндром x2 + z2 =1.
В этой задаче поверхность однозначно проектируется только на плоскость xOz. Поэтому ее площадь будем вычислять по формуле:
Из уравнения параболоида находим:
Область D (рис. 28)
есть круг, ограниченный окружностью
x2
+ z2
=1. С учетом того, что поверхность
симметрична относительно координатных
плоскостей yOz
и xOy
и уравнение окружности, ограничивающей
область D,
в полярных координатах имеет вид 2
= 1, или
= 1, получаем:
откуда
D. Приложения двойного интеграла к механике.
Пусть D – плоская пластинка, лежащая в плоскости xOy, с поверхностной плотностью массы (x, y).
Тогда:
а
( 18)
б) статические моменты Mx и My пластинки относительно координатных осей OX и Oy находят по формулам:
( 19) ( 20)
в) координаты центра тяжести xc и yc пластинки – по формулам:
xc = My/m ( 21) yc =Mx/m; ( 22)
г) моменты инерции Ix, Iy и Io пластинки соответственно относительно координатных осей Ox, Oy и начала координат находят по формулам:
( 23) ( 24)
( 25)
Для однородных пластинок = const и для простоты мы в этом случае будем считать = 1.
Пример 27.
В ычислить момент инерции относительно начала координат плоской однородной пластины, ограниченной линиями: y = 2/x, y = 2, y = -2, x = 4, x = -4. Момент инерции плоской пластины относительно точки О может быть вычислен, если известна плотность этой пластины:
где – плотность в «текущей» точке М;
d – расстояние от М до полюса О. В декартовой системе координат, если О – начало координат, то:
причем, последнее равенство справедливо в предположении, что пластина однородна, т.е. = const.
Так как в данной задаче область симметрична относительно начала координат, и, кроме того, f(-x, -y) = f(x, y), то, обозначив через D*, например, верхнюю половину области D и разделив ее на две правильные области прямой x = 1, получим (рис.29).
Ответ:
Пример 28.
Найти статический момент однородного прямоугольника со сторонами a и b относительно стороны а, считая, что прямоугольник лежит в плоскости xOy.
Поместим начало координат в одну из вершин прямоугольника, а ось Ox направим по стороне а. Статический момент прямоугольника относительно стороны а будет равен статическому моменту прямоугольника относительно оси Ох. По формуле ( 19) имеем:
П ример 29.
Найти статический момент однородного полукруга, лежащего в плоскости xOy, радиуса R относительно диаметра.
Поместим начало координат в середину диаметра полукруга, а ось Oy направим по диаметру (рис. 30). Тогда статический момент полукруга относительно диаметра будет равен статическому моменту полукруга относительно оси Oy. С учетом того, что уравнение окружности, ограничивающей полукруг, имеет вид x2 + y2 = R2, а в полярных координатах = R, по формуле ( 18) имеем:
Пример 30.
Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной параболой ay = z2 и прямой y = 2 (a > 0).
Пластинка лежит в плоскости yOz. В силу симметрии пластинки относительно оси Oy имеем zc = 0. Для нахождения yc найдем Mz и m:
И тогда
Пример 31.
Найти момент инерции квадрата со стороной а, поверхностная плотность которого пропорциональна z, относительно одной из вершин, считая, что квадрат находится в плоскости xOz.
Поместим начало координат в одну из вершин квадрата, а координатные оси Ox и Oz направим по двум взаимно перпендикулярным его сторонам. Тогда искомый момент инерции будет равен моменту инерции квадрата относительно начала координат, т.е.
Тройной интеграл