3. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойных интегралов в полярных координатах.

П

( 7)

ри вычислении двойных интегралов иногда бывает полезно сделать замену переменных. Пусть

u = u(x,y), v = v(x,y) –

ф

( 8)

ункции, определенные на всей плоскости xOy или в некоторой ее области D_xy и имеющие непрерывные частные производные в области D_xy. Допустим также, что систему уравнений ( 7) можно однозначно разрешить относительно x и y:

x = x(u,v), y = y(u,v).

Тогда каждой точке М(x;y) из области D_xy будет взаимно однозначно соответствовать пара чисел (u,v), называемых криволинейными координатами этой точки. Если область D_xy расположена в той части плоскости xOy, в которой введены криволинейные координаты u, v, то справедлива следующая формула:

( 9)

,

где D_uv – область изменения криволинейных координат u и v, отвечающая области D_xy, а I(u,v) – якобиан преобразования ( 8):

( 10)

Например, для полярных координат имеем:

В зависимости от строения области интегрирования или подынтегральной функции вычисление двойного интеграла может оказаться более простым не в прямоугольной, а в какой-нибудь из криволинейных систем координат. Наиболее распространенной из них является полярная.

Для того, чтобы преобразовать двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах в двойной интеграл в полярных координатах, нужно x и y в подынтегральной функции заменить соответственно через cos и sin, а выражение dxdy заменить выражением dd:

( 11)

где D_ – та же область D_ху, но описанная в полярных координатах (поскольку в этом случае якобиан I = ).

В этой формуле следует обратить внимание на то, что в подынтегральной функции не только происходит замена координат по формулам перехода от декартовых к полярным, но и появляется дополнительный множитель .

В ычисление двойного интеграла в полярной системе координат, также как и в декартовой, сводится к двукратному интегрированию, но, соответственно, по переменным  и . Расстановку пределов при вычислении интегралов в полярных координатах можно производить, используя чертеж области интегрирования на плоскости Oxy и геометрический смысл полярных координат.

Пусть, например, внешнее интегрирование производится по  и область D_ρφ является правильной в направлении  = сonst, т.е. каждый луч, выходящий из начала координат, пересекает область D_ρφ по отрезку (рис. 14).

Т огда справедлива формула:

(12)

В частном случае, когда D содержит начало координат, имеем:

( 13)

Если же внешнее интегрирование производится по  и область D_ρφ является правильной в направлении  = const, т.е. каждая окружность пересекает, имея центром начало координат, область D_ρφ по дуге этой окружности (только в двух точках) (см. рис.16), то справедлива формула:

( 14)

Пример 12.

В ычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями: x² + y² = 1, y = 0, x = 2, y = x и лежащей в первом квадранте.

Хотя данный интеграл можно вычислить в прямоугольной декартовой системе координат, в которой он задан, но неопределенные интегралы, которые при этом возникнут, достаточно сложны.

Перейдем к полярной системе координат. Вспомним, что . Построив область интегрирования (рис. 17), мы видим, что для точек области полярный угол меняется в пределах от 0 до /4, а при каждом значении  из этого промежутка полярный радиус меняется от 1 до 2/cos (последнее мы получим, подставив в уравнение х = 2 выражение для х через полярные координаты: cos = 2 и разрешив полученное соотношение относительно ).

Таким образом, искомый интеграл можно представить в виде:

Пример 13.

Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена окружностью x² + y² = 1.

Область D есть круг радиуса 1 с центром в начале координат. Введем полярные координаты. В полярных координатах x² + y² = ² и уравнение окружности принимает вид  = 1.

Тогда по формуле ( 13) получаем:

Пример 14.

Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена половиной дуги окружности x² + z² = ax и отрезком оси Ox от точки с абсциссой равной 0 до точки с абсциссой равной а.

Область D – полукруг. Введем полярные координаты: x = cos, z = sin.

Уравнение окружности в полярных координатах принимает вид ² = acos, или  = acos.

Подынтегральная функция имеет вид z = sin. Угол  меняется от 0 до /2 (полукруг находится в I четверти). При каждом фиксированном значении угла   меняется от 0 (в начале координат) до  = acos (на окружности). Тогда получаем:

Пример 15.

В двойном интеграле расставить пределы интегрирования в полярных координатах, если область D является квадратом с вершинами в точках О(0;0), А(1;0), В(1;1), С(0;1).

Уравнение стороны АВ (х = 1) в полярных координатах принимает вид cos = 1, или  = 1/cos, а ВС будет  = 1/sin. Угол  меняется от 0 до /2 (квадрат находится в I четверти). При изменении угла от 0 до /4  меняется от 0 до  = 1/cos, а при изменении угла от /4 до /2  меняется от 0до  = 1/sin.

Следовательно,