Спектр периодической функции

Подстановка (1.48) в преобразование Фурье

(1.1)

после перестановки суммирования и интегрирования

с учетом

(2.24)

дает

. (1.47)

Периодическая функция имеет дискретный спектр в виде модулированной гребенчатой функции.

Дифференцирование

Выполняем и получаем, что, если

,

то

. (1.50)

Ряд Фурье для вещественной периодической функции

Исследуемая функция удовлетворяет

,

.

Из

(1.49)

получаем

,

тогда

.

Из

(1.48)

получаем

, (1.53)

где использовано

.

Замена

,

,

где b_n и c_n – вещественные, дает разложение функции в ряд Фурье

, (1.54)

где

,

,

,

где учтено

.

Методы математической физики

Коллоквиум

1. Преобразование Фурье прямое и обратное. Свертка. Теоремы о свертке и об умножении функций. Теорема о частотной полосе.

2. Дельта-функция. Определение и интегральное представление. Выражение для сложного аргумента. Фурье-образ.

3. Прямоугольная функция и ее Фурье-образ.

4. Гамма-функция. Определение, рекуррентное соотношение. Значения: Г(1/2), Г(1), Г(2), Г(n + 1). Формула Стирлинга.

5. Функция гармонического осциллятора. Уравнение и решение. Условие ортонормированности. Уровни энергии осциллятора.

6. Сферическая функция. Определение, квантовые числа. Зависимость функции от углов  и . Условие ортонормированности.

7. Функция Бесселя первого рода. Уравнение. Условия нормировки. Поведение при x  0 и x  . Условие ортонормированности на интервале (0, ∞).

24