- •Контрольные мероприятия
- •Ортонормированные базисы
- •ВекторнЫе пространствА
- •Гильбертово пространство с дискретным базисом
- •Гильбертово пространство с непрерывным базисом
- •Преобразование фурье
- •Оптическое преобразование Фурье
- •Теоремы Фурье
- •Теорема о парах функций и
- •Преобразование Фурье
- •Свертка функций
- •Спектр периодической функции
- •Дифференцирование
- •Ряд Фурье для вещественной периодической функции
- •Методы математической физики
Теорема о парах функций и
Если
,
то
. (1.21)
Доказательство:
Используем (1.1), заменяем аргумент , полученный интеграл сравниваем с (1.2)
.
Преобразование Фурье
, (1.1)
. (1.2)
Свертка функций
, (1.22)
где выполнена замена аргумента
с параметрами
, ; , ; ,
и использовано
.
Физический смысл свертки для линейного и стационарного преобразователя сигналов
f1(t') – входящий сигнал (например, ЭДС) в момент t',
f2(t) – выходящий сигнал (например, ток) в момент t.
Выполняются:
1) принцип суперпозиции – входящие сигналы для разных моментов времени преобразуются независимо, не влияя друг на друга, поэтому преобразование линейное;
2) принцип причинности – если входящий сигнал включается в момент t', то выходящий сигнал отсутствует при более ранних временах t < t';
3) принцип однородности – реакция преобразователя в момент t на сигнал, поступивший в момент t', не изменяется при сдвиге начала отсчета времени, поэтому реакция зависит от (t – t'). Однородность по времени выполняется для стационарного преобразователя с постоянными параметрами.
Принципам удовлетворяет свертка
,
где
– функция Грина – реакция преобразователя на импульсный входящий сигнал;
– функция включения;
– аппаратная функция.
Выходящий сигнал линейного стационарного преобразователя является сверткой входящего сигнала и функции Грина преобразователя.
Теорема о свертке
Фурье-образ свертки функций равен произведению их фурье-образов
. (1.24)
Доказательство:
.
Расцепляем интегралы заменой аргумента , и учтитываем
.
Выполняется
. (1.25)
Доказательство:
.
Под интегралом сделана замена .
Теорема о произведении
Фурье-образ произведения функций равен свертке их фурье-образов
,
. (1.26)
Доказательство:
Выполняем фурье-преобразование (1.25)
и используем интегральную теорему (1.20)
.
Теорема о дифференцировании
При дифференцировании функции ее Фурье-образ умножается на
. (1.35)
Доказательство:
Формулу
, (1.2)
дифференцируем n раз
.
Сравниваем результат с (1.2), получили для функции Фурье-образ .
Умножение функции на
Умножение функции на приводит к дифференцированию ее Фурье-образа
,
. (1.37)
Доказательство:
Используем
, (1.1)
получаем
.
Сравнение результата с (1.1) дает (1.37).
Преобразование периодических функций
Для функции с периодом L
спектр является дискретным, и получается разложением функции по базису гармонических функций с периодами , где
Базисы из комплексных периодических функций
,
Периодическими комплексными функциями с периодом являются
.
Доказательство:
,
где учтено
,
Получаем базис
, – период .
Переход к другому периоду осуществляется заменой аргумента:
: , – период L.
: , – период .
Базисы из вещественных периодических функций
,
, ,
Ортонормированность базисов
Для базиса выполняется условие ортонормированности
.
, :
.
, :
, (1.43)
где сделаны замены
, .
Выполняется:
,
,
. (1.45)
,
,
. (1.46)
Преобразование Фурье комплексной функции с периодом L
По ортонормированному базису периодических гармонических функций
разлагаем и получаем ряд Фурье
. (1.48)
Ищем коэффициенты , выполняя
.
Переставляем суммирование и интегрирование, и учитываем
. (1.43)
Все слагаемые суммы дают нули кроме слагаемого . Переобозначая , получаем
. (1.49)