§8. Задачи с решениями.
1. Доказать эквивалентность двух параметризованных кривых
и
,
заданных соответственно параметрическими уравнениями:
а)
б) 
Решение.
а)
Покажем, что существует гомеоморфизм
при котором
.
Рассмотрим отображение
,
заданное формулой
.
Тогда
Отображение
,
где
,
осуществляет гомеоморфизм промежутка
на
промежуток
,
в
частности,
на
.
Указание. Постройте график . Обратите внимание, что на промежутке .
б)
Искомый гомеоморфизм
задается формулой
.
2. Кривая на плоскости задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Задать ее другими оставшимися способами. Выяснить расположение кривой на плоскости и нарисовать ее.
Решение задачи для кривой на плоскости, заданной параметрически.
В качестве примера кривой, заданной параметрически, рассмотрим кривую с радиус-вектором
(t)={a
cos t, b sin t}, a, b
,
.
Заметим,
что
.
Следовательно, кривая лежит на эллипсе
с каноническим уравнением
.
С другой стороны, для любой точки эллипса
с координатами
существует такое
,
что
.
В качестве такого
можно взять, например, для точек верхней
полуплоскости
,
а для точек из нижней полуплоскости
.
Итак,
кривая является эллипсом. Ее неявное
уравнение получается из канонического
уравнения эллипса:
Эллипс можно представить как совокупность графиков двух функций
.
Решение задачи для кривой на плоскости, заданной неявно.
По
теореме о неявной функции если кривая
задана уравнением
и в некоторой точке
,
то в окрестности этой точки кривую можно
представить в виде графика функции
.
При этом производная функции в точке
равна
.
3. Кривая в пространстве задана одним из способов: параметрически или в виде пересечения поверхностей. Выяснить расположение кривой в пространстве и по возможности нарисовать ее.
Решение задачи для кривой в пространстве, заданной параметрически.
В качестве примера кривой, заданной параметрически, рассмотрим кривую с радиус-вектором
(t)={a
cos t, a sin t, bt}, a, b
,
a, b >0,
Заметим,
что
.
Следовательно, кривая лежит на круговом
цилиндре с каноническим уравнением
.
С ростом параметра t
точка
кривой движется по цилиндру в направлении
оси Oz.
Итак, кривая является винтовой линией, начинающейся на плоскости Oxy от точки (а;0;0).
Покажем, что все касательные к винтовой линии образуют один и тот же по величине угол с образующими цилиндра.
Образующие
кругового цилиндра – это лежащие на
нем прямые. Образующие цилиндра
параллельны друг другу и для данного
кругового цилиндра параллельны оси
.
В качестве направляющего вектора
образующих возьмем направляющий вектор
оси
.
Рисунок 14.
Угол
между винтовой линией на цилиндре и
образующей цилиндра в точке их пересечения
– это угол между касательным вектором
к винтовой
линии и направляющим вектором образующей.
.
Радиус-вектор
винтовой линии
.
Касательный вектор к винтовой линии
.
Следовательно,
.
Угол – постоянный.