МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ УНИВЕРСИТЕТ
	А.Н. МАРТЫНЮК, О.А. МАТВЕЕВ, И.В. ПТИЦЫНА ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Москва 2011

УДК 514.7

Печатается по решению кафедры математического анализа и геометрии

Московского государственного областного университета

Мартынюк А.Н., Матвеев О.А., Птицына И.В. Элементы дифференциальной геометрии на плоскости и в пространстве. – М.: Издательство МГОУ, 2011, 83 с.

Издание второе.

Под общей редакцией Матвеева Олега Александровича

Методическое пособие содержит избранный теоретический материал по курсу дифференциальной геометрии в кратком изложении и некоторое количество задач с подробными решениями.

Рецензенты:

доктор педагогических наук, профессор Жаров В.К.,

кандидат физико - математических наук, доцент Кузнецов В. С.

© Мартынюк А.Н., Матвеев О.А., Птицына И.В., 2011

© Московский государственный областной университет, 2011

© Издательство МГОУ, 2011

Содержание

Предисловие ………………………………………………………….….…… 4

Введение ………………………………………………………………..…...... 6

§1. Понятие кривой, её гладкость и параметризации .……………….…... 11

§2. Касательная к кривой на плоскости и в пространстве. Угол между

кривыми. Нормаль к кривой на плоскости и нормальная плоскость

к кривой в пространстве ..………………………………………………. 17

§3. Сопровождающий трехгранник кривой (трехгранник Френе) ………. 23

§4. Длина кривой. Естественная параметризация кривой …………….….. 27

§5. Формулы Френе. Кривизна и кручение кривой …................................. 28

§6. Кинематический смысл кривизны и кручения ………………………... 36

§7. Вычисление кривизны и кручения кривой

в произвольной параметризации ……………………………………..... 39

§8. Задачи с решениями ……………….………………….……………..…. 42

§9. Задачи для самостоятельного решения ….……………………...……... 65

§10. Примерная тестовая работа по дифференциальной геометрии

кривых ………………………………………………………………...... 68

§ 11. Методические указания по изучению темы «Дифференциальная

геометрия поверхностей в трехмерном пространстве» .…………..... 70

§ 12. Содержание курса «Дифференциальная геометрия» ….…………… 81

Литература ………………………………………………………………....... 83

Предисловие

Это учебное пособие предназначается студентам, аспирантам и преподавателям средних и высших педагогических и технических учебных заведений. В нем вводятся первоначальные понятия, определения и факты глубокой локальной теории линий на плоскости и в трехмерном пространстве.

Основой вводного курса в дифференциальную геометрию послужили лекции, прочитанные авторами на физико-математическом факультете Московского государственного областного университета.

Материал принадлежит к традиционному курсу и обычно следует за аналитической геометрией и топологией и предшествует теории поверхностей и дифференцируемых многообразий конечной и бесконечной размерности.

Дифференциальная геометрия изучает геометрические образы методами математического анализа. Прежде всего, изучаются свойства кривых и «в малом», то есть геометрические образы, содержащиеся в сколь угодно малых окрестностях пространства.

На первоначальных этапах своего развития дифференциальная геометрия почти неотделима от математического анализа. В семнадцатом веке были сделаны первые шаги в построении теории плоских кривых, однако исследование пространственных фигур с помощью исчисления бесконечно малых находилось лишь в зародыше.

Возникновение дифференциальной геометрии обусловлено потребностями естествознания и техники и относится к первой половине восемнадцатого века и связано с именами знаменитого математика Л. Эйлера (1707 – 1783) и крупного математика, инженера и деятеля французской буржуазной революции Г. Монжа (1746 – 1818). Первое сводное известное нам сочинение по теории поверхностей «Приложение анализа к геометрии» было написано Г. Монжем в 1795 году. В 1827 году Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», где ввел основные понятия теории линий и поверхностей в ее современном виде.

Открытие и исследование неевклидовых геометрий имело большое значение, в том числе и для дифференциальной геометрии. С другой стороны, моделирование двумерных неевклидовых геометрий в малом внутренней геометрией той или иной поверхности трехмерного пространства привело к доказательству непротиворечивости геометрий Н.И. Лобачевского и Б. Римана.

В 1954 году Б. Риман в своей знаменитой лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» заложил основы так называемой римановой геометрии, которая в применении к многомерным многообразиям находится в таком же отношении к геометрии n – мерного евклидова простран-

ства, как внутренняя геометрия поверхности к плоской евклидовой геометрии.

В России школу дифференциальной геометрии создали Ф.Г. Миндинг (1806 – 1885) и К.М. Петерсон (1828 – 1885). Далее следует отметить работы Д.Ф. Егорова (1869 – 1931), В.Ф. Кагана (1869 – 1953), В.В. Вагнера (1908 – 1981), С.П. Финикова, А.П. Нордена, П.А. Широкова, П.К. Рашевского и многих других российских геометров.

Авторский коллектив выражает благодарность и признательность Щуровой Альбине Николаевне, взявшей на себя нелегкий труд по компьютерному набору этого учебного пособия.