- •Печатается по решению кафедры математического анализа и геометрии
- •Содержание
- •Предисловие
- •Введение
- •§1. Понятие кривой, ее гладкость и параметризации
- •§2. Касательная к кривой на плоскости и в пространстве. Угол между кривыми. Нормаль к кривой на плоскости и нормальная плоскость
- •§3. Сопровождающий трехгранник кривой (трехгранник Френе)
- •§4. Длина кривой. Естественная параметризация кривой.
- •§5. Формулы Френе. Кривизна и кручение кривой.
- •§6.Кинематический смысл кривизны и кручения
- •§7. Вычисление кривизны и кручения в произвольной параметризации.
- •§8. Задачи с решениями.
- •1. Доказать эквивалентность двух параметризованных кривых
- •3. Кривая в пространстве задана одним из способов: параметрически или в виде пересечения поверхностей. Выяснить расположение кривой в пространстве и по возможности нарисовать ее.
- •4. Кривая на плоскости задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Написать уравнения касательной и нормали в данной точке.
- •5. Найти угол между кривыми в точке их пересечения:
- •6. Напишите уравнение касательной прямой и нормальной плоскости кривой , заданной параметрически в трехмерном пространстве, при :
- •7. Кривая задана как пересечение двух поверхностей:
- •8. Найти векторы канонического репера кривой
- •9. Кривая задана параметрическими уравнениями
- •10. Найти точки на кривой , в которых бинормаль параллельна плоскости .
- •11. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости
- •12. Даны параметрические уравнения двух кривых на плоскости или в пространстве, проходящих через общую точку. Определить порядок касания кривых в этой точке.
- •14. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости или в пространстве. Записать кривую через натуральный параметр s. Выяснить длину вектора r’(s) и направление вектора r”(s).
- •16. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости или в пространстве. Найти кривизну и кручение кривой, не переходя к натуральному параметру.
- •§ 9. Задачи для самостоятельного решения.
- •§ 10. Тестовая работа по дифференциальной геометрии кривых
- •Вариант ab.
- •§ 11. Методические указания по изучению темы дифференциальная геометрия поверхностей в трехмерном пространстве.
- •Тема 1. Способы задания поверхностей. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Поверхность в пространстве задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Задать ее другими оставшимися способами.
- •Поверхность в пространстве задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Написать уравнения касательной и нормали в данной точке.
- •Тема 2. Касание поверхностей.
- •Даны параметрические уравнения поверхности. Найти какую-нибудь поверхность, имеющую с данной поверхностью в данной точке касание 1, 2, 3 порядка.
- •Даны параметрические уравнения двух поверхностей, проходящих через общую точку. Определить порядок касания поверхностей в этой точке.
- •Тема 3. Первая квадратичная форма поверхности.
- •Поверхность задана параметрически. Найти первую квадратичную форму поверхности.
- •С помощью первой квадратичной формы найти длину кривой на поверхности, угол между кривыми и площадь области на поверхности.
- •Тема 4. Вторая квадратичная форма поверхности. Полная и средняя кривизны поверхности.
- •Тема 5. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Гауссова и средняя кривизны поверхности.
- •§ 12. Содержание курса Дифференциальная геометрия
- •2. Теория кривых в евклидовом пространстве
- •3. Теория поверхностей в евклидовом пространстве
- •Литература
Тема 4. Вторая квадратичная форма поверхности. Полная и средняя кривизны поверхности.
Практические задания
Поверхность задана параметрически. Найти вторую квадратичную форму поверхности.
Обсудить ее геометрический смысл.
Тема 5. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Гауссова и средняя кривизны поверхности.
Практические задания
Поверхность задана параметрически. Найти ее гауссову и среднюю кривизны в заданной точке, используя первую и вторую квадратичные формы поверхности, а также (если это возможно) используя главные нормальные кривизны поверхности..
Обсудить геометрический смысл указанных кривизн поверхности в данной точке.
§ 12. Содержание курса Дифференциальная геометрия
1.Векторные функции одной и нескольких переменных:
их свойства, дифференцирование, разложение в ряд Тейлора.
2. Теория кривых в евклидовом пространстве
Кривые в евклидовом пространстве: элементарная кривая, простая кривая, общая кривая. Регулярная кривая класса С (К), гладкая кривая.
Различные способы задания плоских кривых и кривых в пространстве: параметрическое, как пересечение двух поверхностей.
Касание кривых. Касательная к кривой. Соприкасающаяся окружность. Угол между кривыми.
Касание кривой и поверхности. Соприкасающаяся плоскость. Соприкасающаяся сфера.
Кривые на плоскости: касательная, соприкасающаяся окружность. Нормаль к плоской кривой.
Кривые в пространстве: касательная, соприкасающаяся окружность. Нормальная, соприкасающаяся и спрямляющая плоскости. Главная нормаль и бинормаль. Соприкасающаяся сфера.
Длина кривой. Натуральный параметр на кривой (естественная параметризация кривой).
Кривые на плоскости: кривизна и ее свойства. Формулы Френе на плоскости. Натуральные уравнения кривой.
Кривые в пространстве: кривизна , кручение и их свойства. Формулы Френе в пространстве. Натуральные уравнения кривой.
3. Теория поверхностей в евклидовом пространстве
Поверхности в евклидовом пространстве: элементарная поверхность, простая поверхность, общая поверхность. Регулярная поверхность класса С (К), гладкая поверхность. Различные способы задания поверхностей.
Касательная плоскость к поверхности. Соприкасающийся параболоид к поверхности. Классификация точек поверхности.
Первая квадратичная форма поверхности в трехмерном евклидовом пространстве (индуцированная метрика на поверхности). Свойства первой квадратичной формы. Использование первой квадратичной формы поверхности.
Вторая квадратичная форма поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Свойства второй квадратичной формы.
Кривизна кривой, лежащей на поверхности. Теорема Менье. Нормальная кривизна поверхности в данном направлении.
Плоские и нормальные сечения поверхности, нормальные кривизны поверхности. Главные нормальные сечения поверхности, главные (нормальные) кривизны поверхности. Главные направления на поверхности.
Средняя и полная (гауссова) кривизны поверхности. Примеры поверхностей положительной, отрицательной и нулевой полной кривизны.
Понятие о внутренней и внешней геометрии поверхности. Роль первой и второй квадратичных форм.
Нормальная и геодезическая кривизна кривой на поверхности, геодезические линии. Свойства геодезических.
Теорема Гаусса-Бонне и следствие из нее о сумме углов геодезического многоугольника, лежащего на поверхности.
Понятие о римановой метрике в пространстве и индуцированной римановой метрике на поверхности.